2023-2024學(xué)年河北省衡水十三中高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

• 1．已知函數(shù)y=x²+2（a-1）+2在（-∞，4）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．[3，+∞）

  B．（-∞．-3]

  C．[-3，+∞）

  D．（-∞，3]
  組卷：160引用：3難度：0.8

  解析

• 2．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  - x 2 + 2 ax - 1 ， x ＜ 2

  lo g a （ x - 1 ） + 2 a , x ≥ 2

  ，則“a≥2”是“f（x）在R上單調(diào)遞增”的（　?。?/h2>

  A．充要條件	B．充分不必要條件
  C．必要不充分條件	D．既不充分又不必要條件
  組卷：79引用：8難度：0.6

  解析

• 3．如是函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  a

  x

  b

  （

  a

  ∈

  R

  ，

  b

  ∈

  N

  *

  ）

  的部分圖象，則（　　）

  A．a(chǎn)＞0，b是奇數(shù)	B．a(chǎn)＜0，b是奇數(shù)
  C．a(chǎn)＞0，b是偶數(shù)	D．a(chǎn)＜0，b是偶數(shù)
  組卷：15引用：3難度：0.7

  解析

• 4．國家新能源車電池衰減規(guī)定是在質(zhì)保期內(nèi)，電池的性能衰減不能超過20%，否則由廠家免費(fèi)為車主更換電池．某品牌新能源車動(dòng)力電池容量測試數(shù)據(jù)顯示：電池的性能平均每年的衰減率為1.5%，該品牌設(shè)置的質(zhì)保期至多為（　?。▍⒖紨?shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg985≈2.9934）

  A．12年

  B．13年

  C．14年

  D．15年
  組卷：170引用：13難度：0.7

  解析

• 5．沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)．如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的

  2

  3

  （細(xì)管長度忽略不計(jì)）．假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02cm³的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆．以下結(jié)論正確的是（　?。?/h2>

  A．沙漏中的細(xì)沙體積為 1024 π 81 cm3

  B．沙漏的體積是128πcm3

  C．細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cm

  D．該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985秒（π≈3.14）
  組卷：66引用：5難度：0.4

  解析

• 6．已知函數(shù)f（x），f（x+2）均為偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）是減函數(shù)，設(shè)a=f（log₈

  1

  2

  ），b=f（7.5），c=f（-5），則a、b、c的大小關(guān)系是（　?。?/h2>

  A．b＞a＞c

  B．a(chǎn)＞c＞b

  C．a(chǎn)＞b＞c

  D．c＞a＞b
  組卷：19引用：9難度：0.9

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• 7．如圖扇形AOB所在圓的圓心角大小為

  2

  π

  3

  ，P是扇形內(nèi)部（包括邊界）任意一點(diǎn)，若

  OP

  =

  x

  OA

  +

  y

  OB

  ，那么2x+y的最大值是（　?。?/h2>

  A． 3 3 2

  B．3

  C． 2 21 3

  D． 7
  組卷：180引用：4難度：0.6

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四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，離心率

  e

  =

  2

  2

  ，它的長軸長等于圓x²+y²-2x+4y-3=0的直徑．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）若過點(diǎn)

  P

  （

  0

  ，-

  2

  3

  ）

  的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，使得以AB為直徑的圓經(jīng)過這個(gè)定點(diǎn)，若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由？
  組卷：199引用：2難度：0.3

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• 22．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=f（x）+ae^x，其中a∈R．
  （1）求過點(diǎn)（-1，-1）且與函數(shù)f（x）的圖象相切的直線方程；
  （2）①求證：當(dāng)x＞0時(shí)，

  e

  x

  ＞

  1

  +

  x

  +

  x

  2

  2

  ；
  ②若函數(shù)g（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，求證：

  |

  x

  2

  -

  x

  1

  |

  ＜

  2

  1

  a

  2

  +

  2

  a

  -

  1

  ．
  組卷：100引用：3難度：0.1

  解析