時(shí)代數(shù)學(xué)報(bào)第三屆數(shù)學(xué)文化節(jié)九年級(jí)復(fù)賽試卷

二、填空題（共12小題，每小題7分，滿(mǎn)分84分）

• 2．在數(shù)學(xué)文化節(jié)第一輪活動(dòng)中，我們以探討一個(gè)趣題的方式紀(jì)念了數(shù)學(xué)大師歐拉誕辰300周年．著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō)過(guò)：“讀讀歐拉，他是我們所有人的導(dǎo)師．”是啊！歐拉在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)實(shí)在太多了，即使在初等數(shù)學(xué)中也到處可見(jiàn)他的身影．我們?cè)賮?lái)看看歐拉研究過(guò)的“36軍官問(wèn)題”：
  從6支部隊(duì)中各選出6名不同軍銜的軍官，將這36名軍官排成一個(gè)6行6列的方陣，要求每行每列的6個(gè)軍官分別來(lái)自不同的部隊(duì)，并具有不同的軍銜．用大寫(xiě)字母A，B，C，D，E，F(xiàn)分別表示6支不同的部隊(duì)，用小寫(xiě)字母a,b,c,d,e,f分別表示6種不同的軍銜，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在6×6的方格陣中，每個(gè)方格分別填入一個(gè)大寫(xiě)字母和一個(gè)小寫(xiě)字母，使每行和每列中的大小寫(xiě)字母只能各出現(xiàn)一次（通常稱(chēng)這種方陣為歐拉方陣或正交拉丁方）．歐拉攪盡腦汁，也沒(méi)能排出符合要求的6×6方陣，他猜想并不存在這樣的6×6方陣．100多年以后，才有人證明了歐拉的這個(gè)猜想是正確的．
  于是歐拉繼而探究了其他情形，例如，他分別作出了3×3，4×4，5×5正交拉丁方，并證明了當(dāng)n除以4的余數(shù)不等于2時(shí)，n×n正交拉丁方是存在的．
  正交拉丁方在藥品配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)等方面有著廣泛應(yīng)用．現(xiàn)在流行的“數(shù)獨(dú)”游戲和比賽，就是發(fā)源于拉丁方問(wèn)題呢！
  如下是一個(gè)5×5正交拉丁方，請(qǐng)將剩余的字母填上

  ．
  

  Aa	Be	Cd	Dc	Eb
  Ec	Ab	Ba	Ce	Dd
  De	Ed	Ac	Bb	Ca
  Cb	Da	Ee
  Bd	Cc	Db
  組卷：64引用：1難度：0.9

  解析

• 3．中國(guó)剩余定理，此定理源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》，其中記載了這樣一個(gè)“物不知數(shù)”的問(wèn)題：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？”這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)正整數(shù)，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合條件的正整數(shù)．此問(wèn)題及其解題原理在世界上頗負(fù)盛名，中外數(shù)學(xué)家們稱(chēng)之為“孫子定理”、“中國(guó)剩余定理”或“大衍求一術(shù)”等．對(duì)以上“物不知數(shù)”的問(wèn)題，求得滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)為

  ，而滿(mǎn)足條件的所有正整數(shù)可用代數(shù)式表示為

  ．
  組卷：87引用：1難度：0.9

  解析

• 4．如圖，在正方形PQRS中，M、N分別為QR、RS上的點(diǎn)，且∠MPN=30°．若△PMN為等腰三角形，且面積為1，則正方形PQRS的面積為

   

  ．
  組卷：195引用：2難度：0.9

  解析

• 5．設(shè)一元二次方程x²+px+q=0（p,q為常數(shù)）的兩根為x₁，x₂，則x²+px+q=（x-x₁）（x-x₂），即x²+px+q=x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂，比較兩邊x的同次冪的系數(shù)，得

  x 1 + x 2 = - p ①

  x 1 x 2 = q ②

  這兩個(gè)式子揭示了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，且關(guān)系式①②中，x₁，x₂的地位是對(duì)等的（即具有對(duì)稱(chēng)性，如將x₁，x₂互換，原關(guān)系式不變）．類(lèi)似地，設(shè)一元三次方程x³+px²+qx+r=0（p,q,r為常數(shù)）的3個(gè)根為x₁，x₂，x₃，則x³+px²+qx+r=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）．由此可得方程x³+px²+qx+r=0的根x₁，x₂，x₃與系數(shù)p,q,r之間存在一組對(duì)稱(chēng)關(guān)系式：

  x 1 + x 2 + x 3 = （ ?? ）

  x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = （ ?? ）

  x 1 x 2 x 3 = （ ?? ）

  ，

  ，

  ．
  組卷：45引用：3難度：0.7

  解析

• 6．如圖，有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，每個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)都分為3個(gè)相同大小的扇形區(qū)域，分別用序號(hào)1，2，3標(biāo)出．現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，等轉(zhuǎn)盤(pán)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，指針指向每個(gè)區(qū)域的可能性相等（不計(jì)指針與兩個(gè)區(qū)域交線重合的情形），將所得區(qū)域的序號(hào)相乘，比較所得積為奇數(shù)或偶數(shù)的概率大?。腥苏f(shuō)，因?yàn)閮蓚€(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)中奇數(shù)序號(hào)都比偶數(shù)序號(hào)多，顯然所得積為奇數(shù)概率大，你同意他的看法嗎？

   

  （填“同意”、“不同意”或“概率大小不確定”）
  
  組卷：27引用：1難度：0.7

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三、解答題（共7小題，滿(mǎn)分59分）

• 19．變與不變將一長(zhǎng)方形紙片折出如圖所示的圖形，其中∠AEB=30°，BG：GH：HC=2：4：1，如果DH=3cm,求AE+EF的長(zhǎng)．
  組卷：42引用：1難度：0.3

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• 20．畫(huà)龍點(diǎn)睛在本屆數(shù)學(xué)文化節(jié)第一輪活動(dòng)書(shū)面問(wèn)題中介紹了數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言等．我們來(lái)看一道用文字語(yǔ)言表述的數(shù)學(xué)問(wèn)題：“一個(gè)正數(shù)的平方與這個(gè)數(shù)的2倍的和等于24，求這個(gè)數(shù)．”此題用符號(hào)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔地表示為（設(shè)該數(shù)為x）：
  “解方程

  （x＞0）．”
  如圖，也可用圖形語(yǔ)言直觀地表示為如下的問(wèn)題：“已知圖形的總面積為24，求x.”
  現(xiàn)在來(lái)看看如何利用圖形幫助我們理解方程的解法：
  解：由x²+2x=24，配方得x²+2x+1=25．（*）
  所以（x+1）²=25．（**）
  因?yàn)閤＞0，所以x+1=5，x=4．
  請(qǐng)?jiān)谒o圖中添上輔助線，表示（*）和（**）式中配方的幾何意義．
  組卷：158引用：1難度：0.5

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