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2008-2009學年高三（上）數學寒假作業(yè)（文科）

發(fā)布：2024/11/11 6:0:1

一、填空題（共199小題，每小題5分，滿分1000分）

1．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=3，AD=4，AB=5，則直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角的正弦值是
．
組卷：13難度：0.7
解析
2．一組數據中的每一個數據都減去8，得到新數據，若求得新數據的平均數是1.2，則原來的數據的平均數是
．
組卷：14引用：2難度：0.9
解析
3．若命題甲：
（
1
2
）
x
，
2
2
x
，
2
x
成等比數列；命題乙：lgx,lg（x+1），lg（x+3）成等差數列，則甲是乙的
條件．
組卷：11引用：2難度：0.9
解析
4．為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17歲～18歲的男生體重（kg），得到頻率分布直方圖如下．根據下圖可得這100名學生中體重在[56.5，64.5]的學生人數是
．
組卷：59引用：35難度：0.7
解析
5．給定兩個向量
a
=（3，4），
b
=（2，1），若（
a
+x
b
）⊥（
a
-
b
），則x的值等于
．
組卷：110引用：7難度：0.7
解析
6．如圖，是計算
1
+
1
3
+
1
5
+
…
+
1
2009
的流程圖，判斷框應填的內容是
，處理框應填的內容是
．
組卷：7引用：2難度：0.9
解析
7．函數
y
=
|
lo
g
1
2
x
|
的定義域為[a,b]，值域為[0，2]，則區(qū)間[a,b]的長b-a的最大值是
．
組卷：32引用：3難度：0.9
解析
8．如圖，M是半徑為R的圓周上一個定點，在圓周上等可能地任取一點N，連接MN，則弦MN的長度超過
2
R的概率是
．
組卷：31引用：6難度：0.7
解析
9．考察下列一組不等式：
2
3
+
5
3
＞
2
2
×
5
+
2
×
5
2
2
4
+
5
4
＞
2
3
×
5
+
2
×
5
3
2
5
2
+
5
5
2
＞
2
2
×
5
1
2
+
2
1
2
×
5
2
…
，將上述不等式在左右兩端視為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為
．
組卷：22引用：10難度：0.7
解析
10．i是虛數單位，計算
1
-
i
1
+
i
+
1
+
i
1
-
i
=
．
組卷：5難度：0.9
解析
11．給出下列條件：①ab＞0；②a＞0，b＞0；③a＜0，b＜0；④ab＜0．能使不等式
b
a
+
a
b
≥
2
成立的條件序號是
．
組卷：28引用：2難度：0.7
解析
12．三直線ax+2y-1=0，3x+y+1=0，2x-y+1=0不能圍成一個三角形，則實數a的取值范圍是
．
組卷：445引用：5難度：0.7
解析
13．等比數列{a_n}的公比q＞1，且a₁＞0，若a₂a₄+a₄a₁₀-a₄a₆-a₅²=9，則a₃-a₇=
．
組卷：14引用：2難度：0.7
解析
14．在△ABC中，tanA是以-4為第三項，4為第七項的等差數列的公差，tanB是以
1
3
為第三項，9為第六項的等比數列的公比，則C=
．
組卷：6引用：2難度：0.7
解析
15．函數f（x）=x³-3x+1在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是
．
組卷：54難度：0.7
解析
16．設A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足
AB
?
AC
=
0
，
AC
?
AD
=
0
，
AB
?
AD
=
0
，則△BCD是
三角形
組卷：48難度：0.5
解析
17．在面積為2的等腰直角三角形ABC中（A為直角頂點），
AB
?
BC
=
．
組卷：2引用：2難度：0.7
解析
18．雙曲線
x
2
16
-
y
2
9
=
1
上的點P到點（5，0）的距離為8.5，則點P到點（-5，0）的距離為
．
組卷：351引用：5難度：0.7
解析
19．已知全集為R，對a＞b＞0，集合M={x|b＜x＜
a
+
b
2
}，N={x|
ab
＜x＜a}，則M∩?_RN=
．
組卷：41引用：4難度：0.7
解析
20．若關于x不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，則a的取值范圍是
．
組卷：195引用：13難度：0.5
解析
21．若y=f（x）是R上的函數，則函數y=f（2x）與y=f（1-2x）的圖象關于直線
對稱．
組卷：94引用：2難度：0.7
解析
22．已知函數y=f（x）是奇函數，當x＜0時，f（x）=x²+ax（a∈R），f（2）=6，則a=
．
組卷：75引用：17難度：0.7
解析
23．在等比數列{a_n}中，a₂a₁₀=6，a₂+a₁₀=5，則
a
18
a
10
=
．
組卷：14引用：2難度：0.7
解析
24．在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則sinC=
．
組卷：23難度：0.7
解析
25．若a,b∈（0，+∞），且a+b=ab,則a²+b²的最小值是
．
組卷：19引用：2難度：0.7
解析
26．已知復數z₁=2+i,z₂=1+2i在復平面內對應的點分別為A，B，向量
AB
對應的復數為z,則在復平面內z所對應的點在第
象限．
組卷：23引用：3難度：0.7
解析
27．如圖所示，在兩個圓盤中，指針在本圓盤每個數所在區(qū)域的機會均等，那么兩個指針同時落在奇數所在區(qū)域的概率是
．
組卷：19引用：6難度：0.7
解析
28．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若
OB
=a₁
OA
+a₂₀₀₉
OC
，且A，B，C三點共線（O為該直線外一點），則S₂₀₀₉=
．
組卷：152引用：5難度：0.7
解析
29．若函數f（x）=x³-3x+a有3個不同的零點，則實數a的取值范圍是
．
組卷：100引用：34難度：0.7
解析
30．一個路口，紅燈、黃燈、綠燈亮的時間依次為30s,5s,40s,車輛到達路口，遇到黃燈或綠燈的概率為
．
組卷：3引用：2難度：0.7
解析
31．在平面內，如果用一條直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形按圖1所標邊長，由勾股定理有：c²=a²+b²．設想正方形換成正方體，把截線換成如圖2所示的截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN，如果用S₁，S₂，S₃表示三個側面面積，S₄表示截面面積，那么你類比得到的結論是
．
組卷：55引用：28難度：0.7
解析
32．若使集合M={x|ax²+2x+a=0，a∈R}中有且只有一個元素的所有a的值組成集合N，則N=
．
組卷：40引用：2難度：0.7
解析
33．已知集合M={
b
3
，8}，N={a^b，1}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍為x,則a+b的值為
組卷：19引用：3難度：0.9
解析
34．已知
i
=（1，0），
j
=（0，1）則
i
-2
j
與2
i
+
j
的夾角為
組卷：9引用：2難度：0.7
解析
35．點P（1，-2，4）關于點A（1，-1，a）的對稱點是Q（b,c,-2），則a+b+c=
．
組卷：29引用：2難度：0.7
解析
36．設f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且
f
（
x
y
）
=
f
（
x
）
-
f
（
y
）
，若f（2）=1，則f（4）=
．
組卷：3引用：2難度：0.7
解析
37．設全集
U
=
R
，
M
=
{
x
|
y
=
x
2
-
4
}
，
N
=
{
x
|
2
x
-
1
≥
1
}
都是U的子集（如圖所示），則陰影部分所示的集合是
．
組卷：28引用：2難度：0.7
解析
38．已知G是△ABC的重心，過G的一條直線交AB、AC兩點分別于E、F，且有
AE
=
λ
AB
，
AF
=
μ
AC
，則
1
λ
+
1
μ
=
．
組卷：55引用：2難度：0.7
解析
39．已知等差數列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=3，若前n項和為18，且a_n-2+a_n-1+a_n=1，則n=
．
組卷：30引用：2難度：0.5
解析
40．若t＞4，則函數f（x）=cos2x+tsinx-t的最大值是
．
組卷：8引用：2難度：0.7
解析
41．已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓x²+y²-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為
．
組卷：2171引用：45難度：0.5
解析
42．若雙曲線
x
2
8
-
y
2
b
2
=
1
的一條準線與拋物線y²=8x的準線重合，則雙曲線的離心率為
．
組卷：3引用：3難度：0.9
解析
43．若向量
a
=
（
x
,
x
+
2
3
）
與向量b=（2x,-3）的夾角為鈍角，則實數x的取值范圍是
．
組卷：48引用：3難度：0.7
解析
44．若α是第二象限角，其終邊上一點
P
（
x
,
5
）
，且
cosα
=
2
x
4
，則sinα=
．
組卷：828引用：7難度：0.7
解析
45．在各項都為正數的等比數列{a_n}中，若首項a₁=3，前三項之和為21，則a₃+a₄+a₅=
．
組卷：83引用：16難度：0.7
解析
46．正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y²=2x上，則這個正三角形的邊長是
．
組卷：47引用：2難度：0.7
解析
47．若函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1）時，f（x）=|x|．則函數y=f（x）的圖象與函數y=log₄|x|的圖象的交點的個數為
．
組卷：44引用：7難度：0.5
解析
48．直線l₁：y=-ax+1，直線l₂：y=ax-1，圓C：x²+y²=1，已知l₁，l₂，C共有三個交點，則a的值為
．
組卷：8引用：2難度：0.7
解析
49．已知f（3）=2，f′（3）=-2，則當x趨近于3時，
2
x
-
3
f
（
x
）
x
-
3
趨近于
．
組卷：36引用：2難度：0.7
解析
50．已知數列{a_n}滿足a₁=0，a_n+1=
a
n
-
3
3
a
n
+
1
（n∈N*），則a₂₀=
．
組卷：48引用：11難度：0.7
解析
51．球面上有A，B，C三點，
AB
=
2
3
，
BC
=
2
6
，
CA
=
6
，若球心到平面ABC的距離為4，則球的表面積為
．
組卷：29引用：3難度：0.5
解析
52．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|（x-3）（x-22）≤0}，則使A?A∩B成立的a的集合是
．
組卷：144引用：5難度：0.7
解析
53．平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（2，-1），B（-1，3），若點C滿足
OC
=
α
OA
+
β
OB
，其中0≤α，β≤1，且α+β=1，則點C的軌跡方程為
．
組卷：38引用：5難度：0.5
解析
54．數列{a_n}的前n項的和S_n=（n+1）²+λ，則數列{a_n}為等差數列的充要條件是λ=
．
組卷：14引用：3難度：0.7
解析
55．若
α
∈
[
π
6
，
π
2
）
，則直線2xcosα+3y+1=0的傾斜角的取值范圍是
．
組卷：48引用：2難度：0.7
解析
56．已知雙曲線
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為
a
2
2
（O為原點），則兩條漸近線的夾角為
．
組卷：7引用：3難度：0.7
解析
57．現有200根相同的圓鋼管，把它們堆放成一個正三角形垛，如果要使剩余的鋼管盡可能的少，那么剩余的鋼管有
根．
組卷：41引用：4難度：0.7
解析
58．函數
y
=
tan
（
x
2
-
π
6
）
的圖象的一個對稱中心是
．
組卷：39引用：2難度：0.7
解析
59．定義在R上的偶函數f（x）在（-∞，0]上是減函數，若f（a-1）＞f（2-a），則a的取值范圍是
．
組卷：246引用：6難度：0.7
解析
60．復數z₁=1+2i,z₂=-2+i,z₃=-1-2i,它們在復平面上的對應點是一個正方形的三個頂點，則這個正方形的第四個頂點對應的復數是
．
組卷：35難度：0.7
解析
61．已知相交直線l和m都在平面α內，并且都不在平面β內，若p：l,m中至少有一條與β相交；q：α與β相交、則p是q的
條件．
組卷：26引用：2難度：0.7
解析
62．已知集合A={x|x≤1或x≥3}，集合B={x|k＜x＜k+1，k∈R}，且（?_RA）∩B≠?，則實數k的取值范圍是
．
組卷：80引用：5難度：0.7
解析
63．在大小相同的5個球中，2個是紅球，3個是白球，若從中任取2個，則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是
．
組卷：103引用：15難度：0.7
解析
64．根據流程圖，當x取-5時，輸出的結果是
．
組卷：11引用：2難度：0.7
解析
65．已知直線x+3y-7=0和kx-y-2=0與x軸、y軸所圍成的四邊形有外接圓，則實數k的值是
．
組卷：48引用：4難度：0.7
解析
66．設等比數列{a_n}的公比為q,前n項和為S_n，若S_n+1，S_n，S_n+2成等差數列，則q的值為
．
組卷：789引用：45難度：0.7
解析
67．現有一塊長軸長為10dm,短軸長為8dm,形狀為橢圓的玻璃鏡子，欲從此鏡中劃一塊面積盡可能大的矩形鏡子，則可劃出的矩形鏡子的最大面積為
．
組卷：84引用：2難度：0.7
解析
68．已知圓C：x²+y²=1，點A（-2，0）及點B（2，a），若從A點觀察B點，要使視線不被圓C擋住，則a的取值范圍是
．
組卷：81引用：5難度：0.5
解析
69．定義在R上的函數y=f（x），它同時具有下列性質：
①對任何x∈R均有f（x³）=[f（x）]³；②對任何x₁，x₂∈R，x₁≠x₂均有f（x₁）≠f（x₂）．
則f（0）+f（-1）+f（1）=
．
組卷：29難度：0.7
解析
70．設奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，f（-1）=-1．若函數f（x）≤t²-2at+1對所有的x∈[-1，1]都成立，則當a∈[-1，1]時，t的取值范圍是
．
組卷：727引用：19難度：0.7
解析
71．設向量a=（-1，2），b=（1，-1），c=（3，-2），且c=pa+qb,則實數p,q之和為
．
組卷：40引用：2難度：0.7
解析
72．已知集合P={（x,y）|y=m}，Q={（x,y）|y=a^x+1，a＞0，a≠1}，如果P∩Q有且只有一個元素，那么實數m的取值范圍是
．
組卷：81引用：11難度：0.7
解析
73．已知
m
1
+
i
=1-ni,其中m,n是實數，i是虛數單位，則m+ni=
．
組卷：12引用：7難度：0.9
解析
74．若拋物線的焦點在直線x-2y-4=0上，則此拋物線的標準方程是
．
組卷：313引用：4難度：0.7
解析
75．命題“a+b=2”是“直線x+y=0與圓（x-a）²+（y-b）²=2相切”的
條件．
組卷：9引用：3難度：0.7
解析
76．已知數列{a_n}的通項公式
a
n
=
lo
g
2
n
+
1
n
+
2
（
n
∈
N
*
）
，設其前n項和為S_n，則使S_n≤-3成立的最小的自然n為
．
組卷：24引用：4難度：0.7
解析
77．已知某圓的圓心為（2，1），若此圓與圓x²+y²-3x=0的公共弦所在直線過點（5，-2），則此圓的方程為
．
組卷：25引用：3難度：0.5
解析
78．設雙曲線
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
的右準線與兩條漸近線交于A、B兩點，右焦點為F，且
FA
?
FB
=
0
，那么雙曲線的離心率為
．
組卷：6難度：0.7
解析
79．若
f
（
x
）
=
1
3
x
3
+
3
xf
′
（
0
）
，則f′（1）=
．
組卷：36引用：5難度：0.7
解析
80．一個總體中有100個個體，隨機編號為0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10．現用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為m,那么在第k小組中抽取的號碼個位數字與m+k的個位數字相同．若m=6，則在第7組中抽取的號碼是
．
組卷：547引用：27難度：0.7
解析

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二、解答題（共40小題，滿分600分）

239．已知△ABC中，點A（3，0），B（0，3），C（rcosα，rsinα）（r＞0）．
（1）若r=1，且
AC
?
BC
=
-
1
，求sin2a的值；
（2）若r=3，且∠ABC=60°，求AC的長度．
組卷：4引用：2難度：0.5
解析
240．已知函數f（x）=x²+2ax+b²．
（1）若a是用正六面體骰子從1，2，3，4，5，6這六個數中擲出的一個數，而b是用正四面體骰子從1，2，3，4這四個數中擲出的一個數，求f（x）有零點的概率；
（2）若a是從區(qū)間[1，6]中任取的一個數，而b是從區(qū)間[1，4]中任取的一個數，求f（x）有零點的概率．
組卷：4引用：2難度：0.5
解析

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2008-2009學年高三（上）數學寒假作業(yè)（文科）

一、填空題（共199小題，每小題5分，滿分1000分）

1．長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=5，則直線A1B與平面A1B1CD所成的角的正弦值是．

2．一組數據中的每一個數據都減去8，得到新數據，若求得新數據的平均數是1.2，則原來的數據的平均數是．

3．若命題甲：（12）x，22x，2x成等比數列；命題乙：lgx,lg（x+1），lg（x+3）成等差數列，則甲是乙的條件．

4．為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17歲～18歲的男生體重（kg），得到頻率分布直方圖如下．根據下圖可得這100名學生中體重在[56.5，64.5]的學生人數是 ．

5．給定兩個向量a=（3，4），b=（2，1），若（a+xb）⊥（a-b），則x的值等于．

6．如圖，是計算1+13+15+…+12009的流程圖，判斷框應填的內容是，處理框應填的內容是．

7．函數y=|log12x|的定義域為[a,b]，值域為[0，2]，則區(qū)間[a,b]的長b-a的最大值是．

8．如圖，M是半徑為R的圓周上一個定點，在圓周上等可能地任取一點N，連接MN，則弦MN的長度超過2R的概率是．

9．考察下列一組不等式：23+53＞22×5+2×5224+54＞23×5+2×53252+552＞22×512+212×52…，將上述不等式在左右兩端視為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為．

10．i是虛數單位，計算1-i1+i+1+i1-i=．

11．給出下列條件：①ab＞0；②a＞0，b＞0；③a＜0，b＜0；④ab＜0．能使不等式ba+ab≥2成立的條件序號是．

12．三直線ax+2y-1=0，3x+y+1=0，2x-y+1=0不能圍成一個三角形，則實數a的取值范圍是．

13．等比數列{an}的公比q＞1，且a1＞0，若a2a4+a4a10-a4a6-a52=9，則a3-a7=．

14．在△ABC中，tanA是以-4為第三項，4為第七項的等差數列的公差，tanB是以13為第三項，9為第六項的等比數列的公比，則C=．

15．函數f（x）=x3-3x+1在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是．

16．設A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足AB?AC=0，AC?AD=0，AB?AD=0，則△BCD是三角形

17．在面積為2的等腰直角三角形ABC中（A為直角頂點），AB?BC=．

18．雙曲線x216-y29=1上的點P到點（5，0）的距離為8.5，則點P到點（-5，0）的距離為．

19．已知全集為R，對a＞b＞0，集合M={x|b＜x＜a+b2}，N={x|ab＜x＜a}，則M∩?RN=．

20．若關于x不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0恒成立，則a的取值范圍是．

21．若y=f（x）是R上的函數，則函數y=f（2x）與y=f（1-2x）的圖象關于直線 對稱．

22．已知函數y=f（x）是奇函數，當x＜0時，f（x）=x2+ax（a∈R），f（2）=6，則a=．

23．在等比數列{an}中，a2a10=6，a2+a10=5，則a18a10=．

24．在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則sinC=．

25．若a,b∈（0，+∞），且a+b=ab,則a2+b2的最小值是．

26．已知復數z1=2+i,z2=1+2i在復平面內對應的點分別為A，B，向量AB對應的復數為z,則在復平面內z所對應的點在第象限．

27．如圖所示，在兩個圓盤中，指針在本圓盤每個數所在區(qū)域的機會均等，那么兩個指針同時落在奇數所在區(qū)域的概率是．

28．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若OB=a1OA+a2009OC，且A，B，C三點共線（O為該直線外一點），則S2009=．

29．若函數f（x）=x3-3x+a有3個不同的零點，則實數a的取值范圍是．

30．一個路口，紅燈、黃燈、綠燈亮的時間依次為30s,5s,40s,車輛到達路口，遇到黃燈或綠燈的概率為．

32．若使集合M={x|ax2+2x+a=0，a∈R}中有且只有一個元素的所有a的值組成集合N，則N=．

33．已知集合M={b3，8}，N={ab，1}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍為x,則a+b的值為

34．已知i=（1，0），j=（0，1）則i-2j與2i+j的夾角為

35．點P（1，-2，4）關于點A（1，-1，a）的對稱點是Q（b,c,-2），則a+b+c=．

36．設f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且f（xy）=f（x）-f（y），若f（2）=1，則f（4）=．

37．設全集U=R，M={x|y=x2-4}，N={x|2x-1≥1}都是U的子集（如圖所示），則陰影部分所示的集合是 ．

38．已知G是△ABC的重心，過G的一條直線交AB、AC兩點分別于E、F，且有AE=λAB，AF=μAC，則1λ+1μ=．

39．已知等差數列{an}中，a1+a2+a3=3，若前n項和為18，且an-2+an-1+an=1，則n=．

40．若t＞4，則函數f（x）=cos2x+tsinx-t的最大值是．

41．已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為 ．

42．若雙曲線x28-y2b2=1的一條準線與拋物線y2=8x的準線重合，則雙曲線的離心率為．

43．若向量a=（x,x+23）與向量b=（2x,-3）的夾角為鈍角，則實數x的取值范圍是．

44．若α是第二象限角，其終邊上一點P（x,5），且cosα=2x4，則sinα=．

45．在各項都為正數的等比數列{an}中，若首項a1=3，前三項之和為21，則a3+a4+a5=．

46．正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y2=2x上，則這個正三角形的邊長是．

47．若函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1）時，f（x）=|x|．則函數y=f（x）的圖象與函數y=log4|x|的圖象的交點的個數為．

48．直線l1：y=-ax+1，直線l2：y=ax-1，圓C：x2+y2=1，已知l1，l2，C共有三個交點，則a的值為．

49．已知f（3）=2，f′（3）=-2，則當x趨近于3時，2x-3f（x）x-3趨近于 ．

50．已知數列{an}滿足a1=0，an+1=an-33an+1（n∈N*），則a20=．

51．球面上有A，B，C三點，AB=23，BC=26，CA=6，若球心到平面ABC的距離為4，則球的表面積為．

52．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|（x-3）（x-22）≤0}，則使A?A∩B成立的a的集合是．

53．平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（2，-1），B（-1，3），若點C滿足OC=αOA+βOB，其中0≤α，β≤1，且α+β=1，則點C的軌跡方程為．

54．數列{an}的前n項的和Sn=（n+1）2+λ，則數列{an}為等差數列的充要條件是λ=．

55．若α∈[π6，π2），則直線2xcosα+3y+1=0的傾斜角的取值范圍是．

56．已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為a22（O為原點），則兩條漸近線的夾角為．

57．現有200根相同的圓鋼管，把它們堆放成一個正三角形垛，如果要使剩余的鋼管盡可能的少，那么剩余的鋼管有根．

58．函數y=tan（x2-π6）的圖象的一個對稱中心是．

59．定義在R上的偶函數f（x）在（-∞，0]上是減函數，若f（a-1）＞f（2-a），則a的取值范圍是．

60．復數z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它們在復平面上的對應點是一個正方形的三個頂點，則這個正方形的第四個頂點對應的復數是．

61．已知相交直線l和m都在平面α內，并且都不在平面β內，若p：l,m中至少有一條與β相交；q：α與β相交、則p是q的 條件．

62．已知集合A={x|x≤1或x≥3}，集合B={x|k＜x＜k+1，k∈R}，且（?RA）∩B≠?，則實數k的取值范圍是．

63．在大小相同的5個球中，2個是紅球，3個是白球，若從中任取2個，則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是．

64．根據流程圖，當x取-5時，輸出的結果是．

65．已知直線x+3y-7=0和kx-y-2=0與x軸、y軸所圍成的四邊形有外接圓，則實數k的值是．

66．設等比數列{an}的公比為q,前n項和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列，則q的值為．

67．現有一塊長軸長為10dm,短軸長為8dm,形狀為橢圓的玻璃鏡子，欲從此鏡中劃一塊面積盡可能大的矩形鏡子，則可劃出的矩形鏡子的最大面積為．

68．已知圓C：x2+y2=1，點A（-2，0）及點B（2，a），若從A點觀察B點，要使視線不被圓C擋住，則a的取值范圍是．

69．定義在R上的函數y=f（x），它同時具有下列性質：①對任何x∈R均有f（x3）=[f（x）]3；②對任何x1，x2∈R，x1≠x2均有f（x1）≠f（x2）．則f（0）+f（-1）+f（1）=．

70．設奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，f（-1）=-1．若函數f（x）≤t2-2at+1對所有的x∈[-1，1]都成立，則當a∈[-1，1]時，t的取值范圍是．

71．設向量a=（-1，2），b=（1，-1），c=（3，-2），且c=pa+qb,則實數p,q之和為．

72．已知集合P={（x,y）|y=m}，Q={（x,y）|y=ax+1，a＞0，a≠1}，如果P∩Q有且只有一個元素，那么實數m的取值范圍是．

73．已知m1+i=1-ni,其中m,n是實數，i是虛數單位，則m+ni=．

74．若拋物線的焦點在直線x-2y-4=0上，則此拋物線的標準方程是．

75．命題“a+b=2”是“直線x+y=0與圓（x-a）2+（y-b）2=2相切”的條件．

76．已知數列{an}的通項公式an=log2n+1n+2（n∈N*），設其前n項和為Sn，則使Sn≤-3成立的最小的自然n為．

77．已知某圓的圓心為（2，1），若此圓與圓x2+y2-3x=0的公共弦所在直線過點（5，-2），則此圓的方程為．

78．設雙曲線x2a2-y2b2=1的右準線與兩條漸近線交于A、B兩點，右焦點為F，且FA?FB=0，那么雙曲線的離心率為．

79．若f（x）=13x3+3xf′（0），則f′（1）=．

一、填空題（共199小題，每小題5分，滿分1000分）

1．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=3，AD=4，AB=5，則直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角的正弦值是
．

2．一組數據中的每一個數據都減去8，得到新數據，若求得新數據的平均數是1.2，則原來的數據的平均數是
．

3．若命題甲：
（
1
2
）
x
，
2
2
x
，
2
x
成等比數列；命題乙：lgx,lg（x+1），lg（x+3）成等差數列，則甲是乙的
條件．

4．為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17歲～18歲的男生體重（kg），得到頻率分布直方圖如下．根據下圖可得這100名學生中體重在[56.5，64.5]的學生人數是
．

5．給定兩個向量
a
=（3，4），
b
=（2，1），若（
a
+x
b
）⊥（
a
-
b
），則x的值等于
．

6．如圖，是計算
1
+
1
3
+
1
5
+
…
+
1
2009
的流程圖，判斷框應填的內容是
，處理框應填的內容是
．

7．函數
y
=
|
lo
g
1
2
x
|
的定義域為[a,b]，值域為[0，2]，則區(qū)間[a,b]的長b-a的最大值是
．

8．如圖，M是半徑為R的圓周上一個定點，在圓周上等可能地任取一點N，連接MN，則弦MN的長度超過
2
R的概率是
．

10．i是虛數單位，計算
1
-
i
1
+
i
+
1
+
i
1
-
i
=
．

11．給出下列條件：①ab＞0；②a＞0，b＞0；③a＜0，b＜0；④ab＜0．能使不等式
b
a
+
a
b
≥
2
成立的條件序號是
．

12．三直線ax+2y-1=0，3x+y+1=0，2x-y+1=0不能圍成一個三角形，則實數a的取值范圍是
．

13．等比數列{a_n}的公比q＞1，且a₁＞0，若a₂a₄+a₄a₁₀-a₄a₆-a₅²=9，則a₃-a₇=
．

14．在△ABC中，tanA是以-4為第三項，4為第七項的等差數列的公差，tanB是以
1
3
為第三項，9為第六項的等比數列的公比，則C=
．

15．函數f（x）=x³-3x+1在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是
．

16．設A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足
AB
?
AC
=
0
，
AC
?
AD
=
0
，
AB
?
AD
=
0
，則△BCD是
三角形

17．在面積為2的等腰直角三角形ABC中（A為直角頂點），
AB
?
BC
=
．

18．雙曲線
x
2
16
-
y
2
9
=
1
上的點P到點（5，0）的距離為8.5，則點P到點（-5，0）的距離為
．

19．已知全集為R，對a＞b＞0，集合M={x|b＜x＜
a
+
b
2
}，N={x|
ab
＜x＜a}，則M∩?_RN=
．

20．若關于x不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，則a的取值范圍是
．

21．若y=f（x）是R上的函數，則函數y=f（2x）與y=f（1-2x）的圖象關于直線
對稱．

22．已知函數y=f（x）是奇函數，當x＜0時，f（x）=x²+ax（a∈R），f（2）=6，則a=
．

23．在等比數列{a_n}中，a₂a₁₀=6，a₂+a₁₀=5，則
a
18
a
10
=
．

24．在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則sinC=
．

25．若a,b∈（0，+∞），且a+b=ab,則a²+b²的最小值是
．

26．已知復數z₁=2+i,z₂=1+2i在復平面內對應的點分別為A，B，向量
AB
對應的復數為z,則在復平面內z所對應的點在第
象限．

27．如圖所示，在兩個圓盤中，指針在本圓盤每個數所在區(qū)域的機會均等，那么兩個指針同時落在奇數所在區(qū)域的概率是
．

28．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若
OB
=a₁
OA
+a₂₀₀₉
OC
，且A，B，C三點共線（O為該直線外一點），則S₂₀₀₉=
．

29．若函數f（x）=x³-3x+a有3個不同的零點，則實數a的取值范圍是
．

30．一個路口，紅燈、黃燈、綠燈亮的時間依次為30s,5s,40s,車輛到達路口，遇到黃燈或綠燈的概率為
．

32．若使集合M={x|ax²+2x+a=0，a∈R}中有且只有一個元素的所有a的值組成集合N，則N=
．

33．已知集合M={
b
3
，8}，N={a^b，1}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍為x,則a+b的值為

34．已知
i
=（1，0），
j
=（0，1）則
i
-2
j
與2
i
+
j
的夾角為

35．點P（1，-2，4）關于點A（1，-1，a）的對稱點是Q（b,c,-2），則a+b+c=
．

36．設f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且
f
（
x
y
）
=
f
（
x
）
-
f
（
y
）
，若f（2）=1，則f（4）=
．

37．設全集
U
=
R
，
M
=
{
x
|
y
=
x
2
-
4
}
，
N
=
{
x
|
2
x
-
1
≥
1
}
都是U的子集（如圖所示），則陰影部分所示的集合是
．

38．已知G是△ABC的重心，過G的一條直線交AB、AC兩點分別于E、F，且有
AE
=
λ
AB
，
AF
=
μ
AC
，則
1
λ
+
1
μ
=
．

39．已知等差數列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=3，若前n項和為18，且a_n-2+a_n-1+a_n=1，則n=
．

40．若t＞4，則函數f（x）=cos2x+tsinx-t的最大值是
．

41．已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓x²+y²-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為
．

42．若雙曲線
x
2
8
-
y
2
b
2
=
1
的一條準線與拋物線y²=8x的準線重合，則雙曲線的離心率為
．

43．若向量
a
=
（
x
,
x
+
2
3
）
與向量b=（2x,-3）的夾角為鈍角，則實數x的取值范圍是
．

44．若α是第二象限角，其終邊上一點
P
（
x
,
5
）
，且
cosα
=
2
x
4
，則sinα=
．

45．在各項都為正數的等比數列{a_n}中，若首項a₁=3，前三項之和為21，則a₃+a₄+a₅=
．

46．正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y²=2x上，則這個正三角形的邊長是
．

47．若函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1）時，f（x）=|x|．則函數y=f（x）的圖象與函數y=log₄|x|的圖象的交點的個數為
．

48．直線l₁：y=-ax+1，直線l₂：y=ax-1，圓C：x²+y²=1，已知l₁，l₂，C共有三個交點，則a的值為
．

49．已知f（3）=2，f′（3）=-2，則當x趨近于3時，
2
x
-
3
f
（
x
）
x
-
3
趨近于
．

50．已知數列{a_n}滿足a₁=0，a_n+1=
a
n
-
3
3
a
n
+
1
（n∈N*），則a₂₀=
．

51．球面上有A，B，C三點，
AB
=
2
3
，
BC
=
2
6
，
CA
=
6
，若球心到平面ABC的距離為4，則球的表面積為
．

52．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|（x-3）（x-22）≤0}，則使A?A∩B成立的a的集合是
．

53．平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（2，-1），B（-1，3），若點C滿足
OC
=
α
OA
+
β
OB
，其中0≤α，β≤1，且α+β=1，則點C的軌跡方程為
．

54．數列{a_n}的前n項的和S_n=（n+1）²+λ，則數列{a_n}為等差數列的充要條件是λ=
．

55．若
α
∈
[
π
6
，
π
2
）
，則直線2xcosα+3y+1=0的傾斜角的取值范圍是
．

56．已知雙曲線
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為
a
2
2
（O為原點），則兩條漸近線的夾角為
．

57．現有200根相同的圓鋼管，把它們堆放成一個正三角形垛，如果要使剩余的鋼管盡可能的少，那么剩余的鋼管有
根．

58．函數
y
=
tan
（
x
2
-
π
6
）
的圖象的一個對稱中心是
．

59．定義在R上的偶函數f（x）在（-∞，0]上是減函數，若f（a-1）＞f（2-a），則a的取值范圍是
．

60．復數z₁=1+2i,z₂=-2+i,z₃=-1-2i,它們在復平面上的對應點是一個正方形的三個頂點，則這個正方形的第四個頂點對應的復數是
．

61．已知相交直線l和m都在平面α內，并且都不在平面β內，若p：l,m中至少有一條與β相交；q：α與β相交、則p是q的
條件．

62．已知集合A={x|x≤1或x≥3}，集合B={x|k＜x＜k+1，k∈R}，且（?_RA）∩B≠?，則實數k的取值范圍是
．

63．在大小相同的5個球中，2個是紅球，3個是白球，若從中任取2個，則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是
．

64．根據流程圖，當x取-5時，輸出的結果是
．

65．已知直線x+3y-7=0和kx-y-2=0與x軸、y軸所圍成的四邊形有外接圓，則實數k的值是
．

66．設等比數列{a_n}的公比為q,前n項和為S_n，若S_n+1，S_n，S_n+2成等差數列，則q的值為
．

67．現有一塊長軸長為10dm,短軸長為8dm,形狀為橢圓的玻璃鏡子，欲從此鏡中劃一塊面積盡可能大的矩形鏡子，則可劃出的矩形鏡子的最大面積為
．

68．已知圓C：x²+y²=1，點A（-2，0）及點B（2，a），若從A點觀察B點，要使視線不被圓C擋住，則a的取值范圍是
．

69．定義在R上的函數y=f（x），它同時具有下列性質：
①對任何x∈R均有f（x³）=[f（x）]³；②對任何x₁，x₂∈R，x₁≠x₂均有f（x₁）≠f（x₂）．
則f（0）+f（-1）+f（1）=
．

70．設奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，f（-1）=-1．若函數f（x）≤t²-2at+1對所有的x∈[-1，1]都成立，則當a∈[-1，1]時，t的取值范圍是
．

71．設向量a=（-1，2），b=（1，-1），c=（3，-2），且c=pa+qb,則實數p,q之和為
．

72．已知集合P={（x,y）|y=m}，Q={（x,y）|y=a^x+1，a＞0，a≠1}，如果P∩Q有且只有一個元素，那么實數m的取值范圍是
．

73．已知
m
1
+
i
=1-ni,其中m,n是實數，i是虛數單位，則m+ni=
．

74．若拋物線的焦點在直線x-2y-4=0上，則此拋物線的標準方程是
．

75．命題“a+b=2”是“直線x+y=0與圓（x-a）²+（y-b）²=2相切”的
條件．

76．已知數列{a_n}的通項公式
a
n
=
lo
g
2
n
+
1
n
+
2
（
n
∈
N
*
）
，設其前n項和為S_n，則使S_n≤-3成立的最小的自然n為
．

77．已知某圓的圓心為（2，1），若此圓與圓x²+y²-3x=0的公共弦所在直線過點（5，-2），則此圓的方程為
．

78．設雙曲線
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
的右準線與兩條漸近線交于A、B兩點，右焦點為F，且
FA
?
FB
=
0
，那么雙曲線的離心率為
．

79．若
f
（
x
）
=
1
3
x
3
+
3
xf
′
（
0
）
，則f′（1）=
．

二、解答題（共40小題，滿分600分）

239．已知△ABC中，點A（3，0），B（0，3），C（rcosα，rsinα）（r＞0）．
（1）若r=1，且
AC
?
BC
=
-
1
，求sin2a的值；
（2）若r=3，且∠ABC=60°，求AC的長度．