2023-2024學(xué)年四川省成都市彭州市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

• 1．袋中裝有4個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的帶有不同標(biāo)號(hào)的小球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)綠球，甲摸一個(gè)后不放回，乙再摸一個(gè)，試驗(yàn)所有可能的結(jié)果數(shù)為（　?。?/div>

  A．8

  B．9

  C．12

  D．16
  組卷：65引用：1難度：0.7

  解析
• 2．某大型聯(lián)考有16000名學(xué)生參加，已知所有學(xué)生成績(jī)的第60百分位數(shù)是515分，則成績(jī)?cè)?15分以上的人數(shù)至少有（　?。?/div>

  A．6000人

  B．6240人

  C．6300人

  D．6400人
  組卷：46引用：1難度：0.8

  解析
• 3．給出下列命題：
  ①若空間向量

  a

  ，

  b

  ，

  b

  滿足

  a

  ?

  b

  ＜

  0

  ，則

  a

  與

  b

  的夾角為鈍角；
  ②空間任意兩個(gè)單位向量必相等；
  ③對(duì)于非零向量

  c

  ，若

  a

  ?

  c

  =

  b

  ?

  c

  ，則

  a

  =

  b

  ；
  ④若

  {

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }

  為空間的一個(gè)基底，則

  {

  a

  +

  b

  ，

  b

  +

  c

  ，

  c

  +

  a

  }

  構(gòu)成空間的另一個(gè)基底．
  其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（　?。?/div>

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  組卷：337引用：4難度：0.5

  解析
• 4．某地高校有100人參加2023數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，成績(jī)頻數(shù)分布表如下，根據(jù)該表估計(jì)該校大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽成績(jī)的平均分為（　　）
  

  成績(jī)分組/分	[45，55）	[55，65）	[65，75）	[75，85）	[85，95]
  人數(shù)/人	4	25	50	15	6

  A．59

  B．59.4

  C．69

  D．69.4
  組卷：38引用：1難度：0.7

  解析
• 5．若P（A）=

  1

  3

  ，P（

  B

  ）=

  1

  4

  ，P（A∪B）=

  5

  6

  ，則事件A與B的關(guān)系為（　　）

  A．相互獨(dú)立

  B．互為對(duì)立

  C．互斥

  D．無(wú)法判斷
  組卷：101引用：2難度：0.8

  解析
• 6．把邊長(zhǎng)為

  2

  的正方形ABCD對(duì)角線BD折起，使得平面ABD與平面CBD所成二面角的大小為120°，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為（　?。?/div>

  A． 1 4

  B． - 1 4

  C． - 3 4

  D． 3 4
  組卷：31引用：3難度：0.6

  解析
• 7．某校2023年秋季入學(xué)考試，某班數(shù)學(xué)平均分為125分，方差為

  S

  2

  1

  ．成績(jī)分析時(shí)發(fā)現(xiàn)有三名同學(xué)的成績(jī)錄入有誤，A同學(xué)實(shí)際成績(jī)137分，被錯(cuò)錄為118分；B同學(xué)實(shí)際成績(jī)115分，被錯(cuò)錄為103分；C同學(xué)實(shí)際成績(jī)98分，被錯(cuò)錄為129分，更正后重新統(tǒng)計(jì)，得到方差為

  S

  2

  2

  ，則

  S

  2

  1

  與

  S

  2

  2

  的大小關(guān)系為（　?。?/div>

  A． S 2 1 = S 2 2

  B． S 2 1 ＞ S 2 2

  C． S 2 1 ＜ S 2 2

  D．不能確定
  組卷：47引用：4難度：0.7

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四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

• 21．某中學(xué)參加成都市數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽結(jié)束后，為了解競(jìng)賽成績(jī)情況，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，得到他們的成績(jī)，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，[90，100]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
  （1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，若只有20%的人能進(jìn)決賽，入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為多少分（保留兩位小數(shù)）；
  （2）采用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)?yōu)?0～100的學(xué)生中抽取容量為6的樣本，再?gòu)脑摌颖局须S機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求至少有1名學(xué)生成績(jī)不低于90的概率；
  （3）進(jìn)入決賽的同學(xué)需要再經(jīng)過(guò)考試才能參加冬令營(yíng)活動(dòng)．考試分為兩輪，第一輪為筆試，需要考2門學(xué)科，每科筆試成績(jī)從高到低依次有A+，A，B，C，D，A，B，C，D五個(gè)等級(jí)．若兩科筆試成績(jī)均為A+，則直接參加；若一科筆試成績(jī)?yōu)锳+，另一科筆試成績(jī)不低于B，則要參加第二輪面試，面試通過(guò)也將參加，否則均不能參加．現(xiàn)有甲、乙、丙三人報(bào)名參加，三人互不影響．甲在每科筆試中取得A+，A，B，C，D，A，B，C，D的概率分別為

  2

  5

  ，

  1

  6

  ，

  1

  12

  ，

  1

  5

  ，

  3

  20

  ，

  1

  6

  ，

  1

  12

  ，

  1

  5

  ，

  3

  20

  ；乙在每科筆試中取得A+，A，B，C，D，A，B，C，D的概率分別為

  1

  4

  ，

  1

  5

  ，

  2

  5

  ，

  1

  10

  ，

  1

  20

  ；丙在每科筆試中取得A+，A，B，C，D，A，B，C，D的概率分別為

  1

  3

  ，

  2

  5

  ，

  1

  5

  ，

  1

  20

  ，

  1

  60

  ，

  2

  5

  ，

  1

  5

  ，

  1

  20

  ，

  1

  60

  ；甲、乙、丙在面試中通過(guò)的概率分別為

  1

  5

  ，

  5

  16

  ，

  5

  9

  ，

  5

  16

  ，

  5

  9

  ．求甲、乙、丙能同時(shí)參加冬令營(yíng)的概率．
  組卷：26引用：1難度：0.6

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• 22．如圖，已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，且

  ∠

  A

  1

  AD

  =∠

  A

  1

  AB

  =∠

  DAB

  =

  π

  3

  ，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在B₁B和D₁D上．
  （1）若

  BE

  =

  1

  3

  B

  B

  1

  ，

  DF

  =

  2

  3

  D

  D

  1

  ，求證：A，E，C₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
  （2）求

  V

  A

  1

  -

  AEF

  ；
  （3）若

  BE

  =

  1

  3

  B

  B

  1

  ，點(diǎn)F為線段DD₁上（包括端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，求直線EF與平面ABB₁A₁所成角的正弦值的取值范圍．
  組卷：71引用：1難度：0.5

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