人教五四新版九年級（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數(shù)（26）

一、選擇題（共1小題）

• 1．如圖，Rt△OAB的頂點(diǎn)A（-2，4）在拋物線y=ax²上，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　　）

  A．（ 2 ， 2 ）

  B．（2，2）

  C．（ 2 ，2）

  D．（2， 2 ）
  組卷：5675引用：91難度：0.4

  解析

二、解答題（共29小題）

• 2．如圖，已知拋物線y=-x²+6x-5．
  （1）若拋物線y=ax²+bx+c與y=-x²+6x-5關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱，求此拋物線的解析式；
  （2）根據(jù)（1）的解題結(jié)果，合理猜想：直接寫出拋物線y=a（x-m）²+n關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱的二次函數(shù)解析式（不要求寫推導(dǎo)過程）；
  （3）若（1）中拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在左），點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，求sin∠CMA；
  （4）在（3）的條件下，在拋物線y=ax²+bx+c上是否存在點(diǎn)P，使△OPA的面積與△MCA的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：222引用：51難度：0.5

  解析

• 3．如圖1．已知拋物線y=-

  1

  2

  x²+bx+c與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），B的坐標(biāo)為（4，0）．直線l過B，C兩點(diǎn)．點(diǎn)P是線段BC上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C兩點(diǎn)重合）．在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，始終有一條過點(diǎn)P且和y軸平行的直線也隨之運(yùn)動，該直線與拋物線的交點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)為N．
  （1）①求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②直接寫出直線l的函數(shù)表達(dá)式；
  （2）若直線MN把△OBC的面積分成1：3的兩部分，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  （3）如圖2，①連接BM，CM，設(shè)△MBC的面積是S，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，S是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．
  ②當(dāng)△MBC的面積最大時，直線MN上另有一動點(diǎn)E，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，P，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：609引用：50難度：0.5

  解析

• 4．如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．
  （1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
  （2）設(shè)△COB沿x軸正方向平移t（0＜t≤3）個單位長度時，△COB與△CDB重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍；
  考生請注意：下面的（3），（4），（5）題為三選一的選做題，即只能選做其中一個題目，多答時只按作答的首題評分，切記喲！
  （3）點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
  （4）設(shè)點(diǎn)Q是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QP∥x軸交拋物線于另一點(diǎn)P，過P作PH⊥x軸，垂足為H，過Q作QG⊥x軸，垂足為G，則四邊形QPHG為矩形．試探究在點(diǎn)Q運(yùn)動的過程中矩形QPHG能否成為正方形？若能，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不能，請說明理由；
  （5）試探究，在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QDC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：389引用：50難度：0.5

  解析

• 5．如圖，拋物線m：y=-

  1

  4

  x²+

  3

  2

  x+4與x軸交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為M（3，

  25

  4

  ），將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到新的拋物線n,此時A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至E點(diǎn)，M點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至D點(diǎn)．
  （1）求A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；
  （2）求拋物線n的解析式；
  （3）若點(diǎn)P是線段ED上一個動點(diǎn)（E點(diǎn)除外），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為F，連接EF．如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），△PEF的面積為s,求s與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍；如果s有最大值，請求出s的最大值，如果沒有請說明理由；
  （4）設(shè)拋物線m的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，以G為圓心，A、B兩點(diǎn)的距離為直
  徑作⊙G，試判斷直線CM與⊙G的位置關(guān)系，并說明理由．
  組卷：158引用：50難度：0.5

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• 6．如圖，已知二次函數(shù)y=-（x+1）（x-m）的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，且圖象經(jīng)過點(diǎn)M（2，3）．
  （1）求二次函數(shù)的解析式；
  （2）求ABC的面積；
  （3）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)H，使AH+CH最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．
  組卷：254引用：52難度：0.5

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• 7．如圖，拋物線y=ax²+bx+4的對稱軸是直線x=

  3

  2

  ，與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，并且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）過點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，連接AD交y軸于點(diǎn)E，連接AC，設(shè)△AEC的面積為S₁，△DEC的面積為S₂，求S₁：S₂的值．
  （3）點(diǎn)F坐標(biāo)為（6，0），連接DF，在（2）的條件下，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，以每秒3個單位長的速度沿E→C→D→F勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒2個單位長的速度沿F→A勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．若點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？請直接寫出所有符合條件的t值．
  組卷：18引用：50難度：0.5

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• 8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax²+

  8

  3

  x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，4），與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)D．
  （1）求二次函數(shù)的解析式；
  （2）求△BOD內(nèi)切圓的面積；
  （3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△BOP的面積等于

  5

  2

  ？如果存在，那么這樣的點(diǎn)有幾個？如果不存在，請說明理由．
  組卷：262引用：50難度：0.5

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• 9．已知二次函數(shù)y=x²-2mx+m²-1．
  （1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）時，求二次函數(shù)的解析式；
  （2）如圖，當(dāng)m=2時，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
  （3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC+PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請說明理由．
  組卷：2871引用：87難度：0.5

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• 10．如圖，直線x=-4與x軸交于點(diǎn)E，一開口向上的拋物線過原點(diǎn)交線段OE于點(diǎn)A，交直線x=-4于點(diǎn)B，過B且平行于x軸的直線與拋物線交于點(diǎn)C，直線OC交直線AB于D，且AD：BD=1：3．
  （1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
  （2）若△OBC是等腰三角形，求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式．
  組卷：1257引用：53難度：0.5

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二、解答題（共29小題）

• 29．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-

  4

  27

  x²+12的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），連接AB，AC．
  
  （1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為

   

  ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

   

  ；
  （2）過點(diǎn)C作射線CD∥AB，點(diǎn)M是線段AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn)，且始終滿足BM=AP（點(diǎn)M不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），過點(diǎn)M作MN∥BC分別交AC于點(diǎn)Q，交射線CD于點(diǎn)N （點(diǎn) Q不與點(diǎn)P重合），連接PM，PN，設(shè)線段AP的長為n.
  ①如圖2，當(dāng)n＜

  1

  2

  AC時，求證：△PAM≌△NCP；
  ②直接用含n的代數(shù)式表示線段PQ的長；
  ③若PM的長為

  97

  ，當(dāng)二次函數(shù)y=-

  4

  27

  x²+12的圖象經(jīng)過平移同時過點(diǎn)P和點(diǎn)N時，請直接寫出此時的二次函數(shù)表達(dá)式．
  組卷：3082引用：50難度：0.1

  解析

• 30．已知拋物線經(jīng)過A（-2，0），B（0，2），C（

  3

  2

  ，0）三點(diǎn)，一動點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動，連接BP，過點(diǎn)A作直線BP的垂線交y軸于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）當(dāng)BQ=

  1

  2

  AP時，求t的值；
  （3）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使△MPQ為等邊三角形？若存在，請直接寫t的值及相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：4195引用：52難度：0.1

  解析