如圖1，已知在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3經過A（-1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）設△COB沿x軸正方向平移t（0＜t≤3）個單位長度時，△COB與△CDB重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并指出t的取值范圍；
考生請注意：下面的（3），（4），（5）題為三選一的選做題，即只能選做其中一個題目，多答時只按作答的首題評分，切記喲！
（3）點P是x軸上的一個動點，過點P作直線l∥AC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）設點Q是y軸右側拋物線上異于點B的點，過點Q作QP∥x軸交拋物線于另一點P，過P作PH⊥x軸，垂足為H，過Q作QG⊥x軸，垂足為G，則四邊形QPHG為矩形．試探究在點Q運動的過程中矩形QPHG能否成為正方形？若能，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不能，請說明理由；
（5）試探究，在y軸右側的拋物線上是否存在一點Q，使△QDC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q坐標；若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2025/6/18 19:30:1組卷：407引用：50難度：0.5
相似題
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1．如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，-4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標．發(fā)布：2025/6/25 8:30:1組卷：6973引用：21難度：0.1 -
2．給定一個函數，如果這個函數的圖象上存在一個點，它的橫、縱坐標相等，那么這個點叫做該函數的不變點．
（1）一次函數y=3x-2的不變點的坐標為．
（2）二次函數y=x2-3x+1的兩個不變點分別為點P、Q（P在Q的左側），將點Q繞點P順時針旋轉90°得到點R，求點R的坐標．
（3）已知二次函數y=ax2+bx-3的兩個不變點的坐標為A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如圖，設拋物線y=ax2+bx-3與線段AB圍成的封閉圖形記作M．點C為一次函數y=-x+m的不變點，以線段AC為邊向下作正方形ACDE．當D、E兩點中只有一個點在封閉圖形M的內部（不包含邊界）時，求出m的取值范圍．13發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：348引用：2難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線經過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是直線x=-1．
（1）求拋物線對應的函數關系式；
（2）動點Q從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動，同時動點M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動，過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N，交拋物線于點P，設運動的時間為t秒．
①當t為何值時，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．發(fā)布：2025/6/25 6:0:1組卷：1080引用：59難度：0.5