雙曲線C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=12x，其右焦點到該直線的距離等于5；點P是圓x2+y2=a2上的動點，作PD⊥x軸于D，且DM=32DP．
（1）求點M的軌跡C2的方程；
（2）設直線y=kx+m與軌跡C2相交于不同的兩點A、B，是否存在過點N（0，-12）的直線l,使得點A、B關于l對稱，如果存在，求實數(shù)m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．
C
1
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
y
=
1
2
x
5
DM
3
2
DP
N
（
0
，-
1
2
）
【考點】雙曲線相關動點軌跡．
【答案】（1）；
（2）直線存在．
由
，
消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-15）=0，
∴Δ=（8km）2-4（3+4k2）×4（m2-15）＞0，
整理得：20k2＞m2-15，①
令A（x1，y1），B（x2，y2），則
，
設AB的中點Q（x0，y0），則，，
①當k=0時，由題知，，
②當k≠0時，直線l的方程為，
由Q（x0，y0）在直線l上，得，
化簡得2m=3+4k2，②
把②式代入①中，可得5（2m-3）＞m2-15，解得0＜m＜10，
又由②得2m-3=4k2＞0，解得，所以，
綜上，當k=0時，；
當k≠0時，．
x
2
20
+
y
2
15
=
1
（2）直線存在．
由
y = kx + m |
3 x 2 + 4 y 2 - 60 = 0 |
消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-15）=0，
∴Δ=（8km）2-4（3+4k2）×4（m2-15）＞0，
整理得：20k2＞m2-15，①
令A（x1，y1），B（x2，y2），則
x 1 + x 2 = - 8 km 3 + 4 k 2 |
x 1 x 2 = 4 （ m 2 - 15 ） 3 + 4 k 2 |
設AB的中點Q（x0，y0），則
x
0
=
1
2
（
x
1
+
x
2
）
=
-
4
km
3
+
4
k
2
y
=
1
2
（
y
1
+
y
2
）
=
1
2
（
k
x
1
+
m
+
k
x
2
+
m
）
=
m
+
k
x
0
=
3
m
3
+
4
k
2
①當k=0時，由題知，
m
∈
（
-
15
，
15
）
②當k≠0時，直線l的方程為
y
+
1
2
=
-
1
k
x
由Q（x0，y0）在直線l上，得
3
m
3
+
4
k
2
+
1
2
=
4
m
3
+
4
k
2
化簡得2m=3+4k2，②
把②式代入①中，可得5（2m-3）＞m2-15，解得0＜m＜10，
又由②得2m-3=4k2＞0，解得
m
＞
3
2
3
2
＜
m
＜
10
綜上，當k=0時，
m
∈
（
-
15
，
15
）
當k≠0時，
m
∈
（
3
2
，
10
）
【解答】
【點評】
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