愛好思考的小實在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖1、圖2、圖3中，AF、BE是△ABC的中線，AF⊥BE于點P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.
【特例探究】
（1）如圖1，當tan∠PAB=1，c=42時，a=4545，b=4545．
如圖2，當∠PAB=30°，c=4時，a=213213，b=2727．
【歸納證明】
（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論．
【拓展證明】
（3）如圖4，在△ABC中，AB=43，BC=25，D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，連結(jié)DE并延長至點G，使得GE=DE，連結(jié)BG．若BG⊥AC于點M時，求GF的長．
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【考點】三角形綜合題．
【答案】4；4；2；2
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【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：49引用：1難度：0.1
相似題
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1．綜合與實踐：
問題情境：數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：
如圖1，直線m∥n,點A、B在直線m上（點B在點A的下方），過點A作AC⊥n于點C，連接BC，以C為圓心CA為半徑作弧，交直線n于點D，交BC于點E．求證：∠ABC=2∠CDE．
獨立思考：（1）請解答王老師提出的問題．
實踐探究：（2）DE與AC交于點P，在原有問題條件不變的情況下，王老師提出新問題，請你解答．
“猜想出AB、BC、PC的數(shù)量關(guān)系，并證明．”
問題解決：（3）過點D作DQ∥BC交m于點Q（點Q在點A上方），數(shù)學活動小組同學對上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當AQ=BE時，線段BE和AB有一定的數(shù)量關(guān)系，該小組提出下面的問題，請你解答．
“如圖2，當AQ=BE時，求的值．”DPAB發(fā)布：2025/6/14 20:0:1組卷：171引用：2難度：0.1 -
2．如圖，已知△ABC中，AB=AC=6cm,∠B=∠C，BC=4cm,點D為AB的中點．
（1）如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CPQ是否全等，請說明理由．
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為 cm/s時，在某一時刻也能夠使△BPD與△CPQ全等．
（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都按逆時針方向沿△ABC的三邊運動．求經(jīng)過多少秒后，點P與點Q第一次相遇，并寫出第一次相遇點在△ABC的哪條邊上？發(fā)布：2025/6/14 20:0:1組卷：112引用：2難度：0.3 -
3．如圖1，在△ABC中，∠A=40°，外角平分線BN和CN相交于點N，求∠BNC的度數(shù)．
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（1）請你先完成這個問題的解答．小明在完成以上問題的解答后，作如下變式探究：
（2）如圖2，在△ABC中，∠A=80°，若∠CBN=∠CBE，∠BCM=38∠BCD，BN與CM交于點O，求∠BOC的度數(shù)．38
（3）如圖3，在△ABC中，∠A=n°，若∠CBN=∠CBE，∠BCM=34∠BCD，當射線CM與BN相交時，n的取值范圍是什么？試說明理由．34發(fā)布：2025/6/14 20:0:1組卷：257引用：2難度：0.4
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