問(wèn)題背景
定義：若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，且兩個(gè)頂角的和是180°，則稱這兩個(gè)三角形是關(guān)于這條底邊的互補(bǔ)三角形．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對(duì)角線，AB=AC，DB=DC，且∠A+∠D=180°，則△ABC與△DBC是關(guān)于BC的互補(bǔ)三角形．
（1）初步思考：如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，D、E為△ABC外兩點(diǎn)，EB=EC，∠EBC=45°，△DBC為等邊三角形．則△ABC關(guān)于BC的互補(bǔ)三角形是 △BCD△BCD，并說(shuō)明理由．
（2）實(shí)踐應(yīng)用：如圖3，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，AD=10．點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)F在AD邊上，若△BEF與△BCF是關(guān)于BF互補(bǔ)三角形，試求AE的長(zhǎng)．
（3）思維探究：如圖4，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，AD=10．點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，△BEP與△BCP是關(guān)于BP的互補(bǔ)三角形，直線CP與直線AD交于點(diǎn)F．在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段BE與線段AF的長(zhǎng)度是否會(huì)相等？若相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】△BCD
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/6/2 17:30:1組卷：304引用：5難度：0.3
相似題
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1．2023年3月24日，第17屆歐洲杯預(yù)選賽正式打響，本屆歐洲杯足球場(chǎng)采用了幾種噴灌系統(tǒng)，如圖1是噴灌系統(tǒng)可以360°旋轉(zhuǎn)的噴嘴工作實(shí)景圖，已知足球場(chǎng)可以近似看成長(zhǎng)為96米，寬為64米的矩形．
某實(shí)驗(yàn)室為進(jìn)一步研究噴灌技術(shù)，按比例尺1：8制作了一個(gè)足球場(chǎng)沙盤(pán)矩形ABCD，如圖2．
（1）AB=米，BC=米；
（2）如圖3，在足球場(chǎng)沙盤(pán)左右半場(chǎng)的兩個(gè)中心位置分別安裝一個(gè)覆蓋半徑為4.95米的噴嘴P、Q，請(qǐng)問(wèn)兩個(gè)噴嘴同時(shí)工作時(shí)，能否覆蓋整個(gè)足球場(chǎng)沙盤(pán)？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖4，在足球場(chǎng)沙盤(pán)中裝有一個(gè)可以平行移動(dòng)的噴灌桿，初始位置為MN，噴灌桿平移噴灌時(shí)覆蓋范圍呈菱形區(qū)域MNEF，M、N、E、F在沙盤(pán)邊界上，已知BM=4米，求MN的長(zhǎng)；
（4）利用無(wú)人機(jī)沿著足球場(chǎng)沙盤(pán)的對(duì)稱軸或?qū)蔷€飛行并進(jìn)行左右對(duì)稱噴灌，噴灌覆蓋范圍呈正方形，當(dāng)無(wú)人機(jī)恰好能?chē)姽嗾麄€(gè)足球場(chǎng)沙盤(pán)時(shí)，請(qǐng)?jiān)谏鲜鲆?guī)定的飛行路線中，任意選擇其中的兩條路線，直接寫(xiě)出無(wú)人機(jī)噴灌面積的最小值分別是 平方米（面積相同算同一種）．發(fā)布：2025/6/4 10:0:1組卷：255引用：5難度：0.3 -
2．動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是由點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)而構(gòu)成的，需要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形．有時(shí)借助特殊的四邊形常常能幫助我們化“動(dòng)”為“靜”．
（1）問(wèn)題1：如圖1，點(diǎn)P為矩形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若△AEP的面積為S1，△CFP的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是S1S2（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）問(wèn)題2：如圖2，在正方形ABCD中，E為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點(diǎn)M、P、N．判斷線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）問(wèn)題3：如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=3，F(xiàn)為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向左側(cè)作等邊△EFG，連接BG，則BG的最小值為 ．發(fā)布：2025/6/4 10:0:1組卷：468引用：5難度：0.4 -
3．如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB=10cm,BC=12cm.點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s,點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s,點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s.當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是△EB'F，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）．
（1）當(dāng)t=s時(shí)，四邊形EBFB'為正方形；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以點(diǎn)E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形可能全等？
（3）是否存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2025/6/4 10:0:1組卷：1184引用：5難度：0.1