2023年遼寧省沈陽二中高考數(shù)學(xué)五模試卷

一．單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．設(shè)集合A={x∈N^*|

  x

  ≤2}，集合B={y|y=x²+2}，則A∩B=（　?。?/h2>

  A．[1，4]

  B．[2，4]

  C．{1，2，3，4}

  D．{2，3，4}
  組卷：90引用：4難度：0.7

  解析

• 2．已知復(fù)數(shù)

  z

  =

  i

  1

  +

  i

  （其中i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（　?。?/h2>

  A． 1 2 i

  B． - 1 2 i

  C． 1 2

  D． - 1 2
  組卷：202引用：4難度：0.8

  解析

• 3．某校高三年級一共有1200名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測驗(yàn)，已知所有學(xué)生成績的第80百分位數(shù)是103分，則數(shù)學(xué)成績不小于103分的人數(shù)至少為（　?。?/h2>

  A．220

  B．240

  C．250

  D．300
  組卷：237引用：6難度：0.7

  解析

• 4．蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)．如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”．畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點(diǎn)D（第一段圓弧），再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?1段圓弧時，“蚊香”的長度為（　?。?/h2>

  A．14π

  B．18π

  C．30π

  D．44π
  組卷：269引用：10難度：0.7

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• 5．設(shè)

  a

  ，

  b

  是兩個單位向量，若

  a

  +

  b

  在

  b

  上的投影向量為

  2

  3

  b

  ，則

  cos

  ?

  a

  ，

  b

  ?

  =（　　）

  A． - 1 3

  B． 1 3

  C． - 2 2 3

  D． 2 2 3
  組卷：345引用：5難度：0.8

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• 6．魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽（圖a）為研究球體的體積公式，創(chuàng)造了一個獨(dú)特的立體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側(cè)面上．如圖，將兩個底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入棱長為2的正方體時（如圖b），兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖c）即得一個“牟合方蓋”，圖d是該“牟合方蓋”的直觀圖（圖中標(biāo)出的各點(diǎn)A，B，C，D，P，Q均在原正方體的表面上）．
  ?
  由“牟合方蓋”產(chǎn)生的過程可知，圖d中的曲線PBQD為一個橢圓，則此橢圓的離心率為（　　）

  A． 2 2

  B． 1 2

  C． 2 4

  D． 1 4
  組卷：75引用：4難度：0.6

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• 7．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  3

  sin

  （

  2

  x

  -

  π

  3

  ）

  -

  2

  co

  s

  2

  （

  x

  -

  π

  6

  ）

  +

  1

  ，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

  π

  6

  個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，若x₁，x₂是關(guān)于x的方程g（x）=a在

  [

  0

  ，

  π

  2

  ]

  內(nèi)的兩根，則sin（2x₁+2x₂）=（　?。?/h2>

  A． 3 5

  B． - 3 5

  C． 10 10

  D． - 10 10
  組卷：135引用：2難度：0.6

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四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

• 21．如圖：小明同學(xué)先把一根直尺固定在畫板上面，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細(xì)繩，它的長度與另一直角邊相等，讓細(xì)繩的一端固定在三角板的頂點(diǎn)A處，另一端固定在畫板上點(diǎn)F處，用鉛筆尖扣緊繩子（使兩段細(xì)繩繃直），靠住三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動，這時筆尖在平面上畫出了圓錐曲線C的一部分圖象．已知細(xì)繩長度為3，經(jīng)測量，當(dāng)筆尖運(yùn)動到點(diǎn)P處，此時，∠FAP=30°，∠AFP=90°．設(shè)直尺邊沿所在直線為a,以過F垂直于直尺的直線為x軸，以過F垂直于a的垂線段的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
  （1）求曲線C的方程；
  （2）斜率為k的直線過點(diǎn)D（0，-3），且與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，已知k的取值范圍為（0，2），探究：是否存在λ，使得

  DM

  =

  λ

  DN

  ，若存在，求出λ的范圍，若不存在，說明理由．
  組卷：122引用：9難度：0.5

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• 22．已知曲線f（x）=e^x在點(diǎn)

  （

  x

  0

  ，

  e

  x

  0

  ）

  處的切線為l,設(shè)

  f

  i

  （

  x

  ）

  =

  e

  （

  i

  n

  ）

  x

  ，i=1，2，…，n-1，n∈N^*且n≥2．
  （1）設(shè)x₀是方程

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  1

  x

  -

  1

  的一個實(shí)根，證明：l為曲線f（x）=e^x和y=lnx的公切線；
  （2）當(dāng)x∈[-1，1]時，對任意的n∈N^*且n≥2，

  f

  1

  （

  x

  ）

  f

  2

  （

  x

  ）

  ?

  f

  n

  -

  1

  （

  x

  ）

  ≥

  1

  e

  m

  恒成立，求m的最小值．
  組卷：40引用：1難度：0.4

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