2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)亦莊實(shí)驗中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

• 1．已知向量

  a

  =

  （

  x

  ,

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  -

  1

  ，

  1

  ）

  ，若

  a

  ⊥

  b

  ，則x=（　?。?/h2>

  A．1

  B．-1

  C．2

  D．-2
  組卷：232引用：3難度：0.8

  解析

• 2．化簡sinxcosx（tanx+

  1

  tanx

  ）的結(jié)果是（　　）

  A．cos2x

  B．-1

  C．1

  D．sin2x
  組卷：225引用：3難度：0.8

  解析

• 3．如圖所示的時鐘顯示的時刻為3：30，此時時針與分針的夾角為α（0＜α

  ≤

  π

  2

  ）．若一個扇形的圓心角為α，弧長為10，則該扇形的面積為（　?。?/h2>

  A． 25 π 6

  B． 25 π 12

  C． 240 π

  D． 120 π
  組卷：469引用：6難度：0.6

  解析

• 4．古希臘的數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus,約前417-前369）通過如圖來構(gòu)造無理數(shù)

  2

  ，

  3

  ，

  5

  ，?．記∠BAC=α，∠DAC=β，則cos（a+β）=（　?。?/h2>

  A． 6 3 - 2 2

  B． 3 3 - 6 6

  C． 3 3 + 6 3

  D． 6 3 + 2 2
  組卷：162引用：4難度：0.8

  解析

• 5．已知a=cos

  π

  8

  cos

  3

  π

  8

  -sin

  π

  8

  sin

  3

  π

  8

  ，b=2sin

  π

  12

  cos

  π

  12

  ，c=1-2sin²

  π

  8

  ，那么a,b,c的大小關(guān)系為（　?。?/h2>

  A．a(chǎn)＜b＜c

  B．b＜c＜a

  C．c＜b＜a

  D．a(chǎn)＜c＜b
  組卷：115引用：2難度：0.7

  解析

• 6．已知

  cos

  （

  π

  4

  +

  α

  ）

  =

  4

  5

  ，則

  sin

  （

  π

  4

  -

  α

  ）

  的值為（　?。?/h2>

  A． 3 5

  B． - 3 5

  C． 4 5

  D． - 4 5
  組卷：240引用：2難度：0.7

  解析

• 7．已知tanα，tanβ是方程6x²-5x+1=0的兩個根，且α，β為銳角，則α+β的值為（　?。?/h2>

  A． 3 π 4

  B． π 2

  C． π 3

  D． π 4
  組卷：162引用：2難度：0.6

  解析

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

• 20．如圖，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
  （1）求|

  AB

  |；
  （2）已知點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，滿足

  AD

  =λ

  AB

  ，點(diǎn)E是邊CB上一點(diǎn)，滿足

  BE

  =λ

  BC

  ．
  ①當(dāng)λ=

  1

  2

  時，求

  AE

  ?

  CD

  ；
  ②是否存在非零實(shí)數(shù)λ，使得

  AE

  ⊥

  CD

  ？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：484引用：20難度：0.1

  解析

• 21．定義向量

  OM

  =

  （

  a

  ,

  b

  ）

  的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx,函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為

  OM

  =

  （

  a

  ,

  b

  ）

  ，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．
  （Ⅰ）設(shè)函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  -

  2

  sin

  （

  x

  -

  π

  6

  ）

  ，求證：f（x）∈S；
  （Ⅱ）記向量

  ON

  =

  （

  1

  ，

  2

  ）

  的相伴函數(shù)為g（x），當(dāng)g（x）=2且

  x

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  時，求sinx的值；
  （Ⅲ）將（Ⅰ）中函數(shù)f（x）的圖象向右平移

  π

  3

  個單位長度，再把橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到h（x）的圖象．已知A（-3，3），B（3，11），問在y=h（x）的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得

  AP

  ⊥

  BP

  ．若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
  組卷：323引用：3難度：0.2

  解析