2023年遼寧省沈陽市和平區(qū)東北育才學(xué)校高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（二）

一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題5分，共40分）

• 1．歐拉恒等式e^iπ+1=0（i為虛數(shù)單位，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）被稱為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式．它是復(fù)分析中歐拉公式e^ix=cosx+isinx的特例：當(dāng)自變量x=π時(shí)，e^iπ=cosπ+isinπ=-1，得e^iπ+1=0．根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)z=

  e

  i

  5

  π

  4

  在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（　?。┫笙蓿?/h2>

  A．一

  B．二

  C．三

  D．四
  組卷：48引用：4難度：0.7

  解析

• 2．魔方又叫魯比克方塊（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑學(xué)教授暨雕塑家魯比克?艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具，與華容道、獨(dú)立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為智力游戲界的三大不可思議．三階魔方可以看作是將一個(gè)各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從所有的小正方體中任取一個(gè)，恰好抽到中心方塊的概率為（　　）

  A． 2 9

  B． 8 27

  C． 4 9

  D． 1 2
  組卷：80引用：3難度：0.6

  解析

• 3．已知

  A

  （

  -

  1

  ，

  2

  3

  3

  ）

  ，

  B

  （

  1

  ，-

  2

  3

  3

  ）

  ，

  P

  （

  x

  0

  ，

  y

  0

  ）

  為橢圓

  C

  ：

  x

  2

  3

  +

  y

  2

  2

  =

  1

  上不同的三點(diǎn)，直線l：x=2，直線PA交l于點(diǎn)M，直線PB交l于點(diǎn)N，若S_△PAB=S_△PMN，則x₀=（　?。?/h2>

  A．0

  B． 5 4

  C． 5 3

  D． 3
  組卷：224引用：7難度：0.5

  解析

• 4．在計(jì)算機(jī)尚未普及的年代，人們在計(jì)算三角函數(shù)時(shí)常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函數(shù)表的制作最早可追溯到古希臘數(shù)學(xué)家托勒密．下面給出了正弦表的一部分，例如，通過查表可知2°12'的正弦值為0.0384，30°54'的正弦值為0.5135，等等．則根據(jù)該表，416.5°的余弦值為（　?。?br />

  	0'	6'	12'	18'	24'	30'	36'	42'	48'	54'	60'
  0°	0.0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175
  1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349
  2°	0349	0366	0384	0401	0419	0436	0454	0471	0488	0506	0523
  30°	0.5000	5015	5030	5045	5060	5075	5090	5105	5120	5135	5150
  31°	5150	5165	5180	5195	5210	5225	5240	5255	5270	5284	5299
  32°	5299	5314	5329	5344	5358	5373	5388	5402	5417	5432	5446
  33°	5446	5461	5476	5490	5505	5519	5534	5548	5563	5577	5592
  34°	5592	5606	5621	5635	5650	5664	5678	5693	5707	5721	5736
  ……

  A．0.5461

  B．0.5519

  C．0.5505

  D．0.5736
  組卷：66引用：4難度：0.8

  解析

• 5．已知

  a

  =

  （

  3

  2

  ）

  2

  3

  ，

  b

  =

  （

  7

  5

  ）

  5

  7

  ，

  c

  =

  （

  5

  3

  ）

  3

  5

  ，則a,b,c的大小關(guān)系為（　?。?/h2>

  A．a(chǎn)＜b＜c

  B．b＜a＜c

  C．c＜b＜a

  D．a(chǎn)＜c＜b
  組卷：177引用：6難度：0.6

  解析

• 6．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，從F₂發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D．且

  cos

  ∠

  BAC

  =

  -

  3

  5

  ，AB⊥BD，則E的離心率為（　?。?img alt="菁優(yōu)網(wǎng)" src="https://img.jyeoo.net/quiz/images/svg/202207/198/242509d2.png" style="vertical-align:middle;float:none;" />

  A． 5

  B． 10 3

  C． 5 2

  D． 17 3
  組卷：161引用：5難度：0.6

  解析

• 7．已知函數(shù)f（x）=e^ax-2lnx-x²+ax,若f（x）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　?。?/h2>

  A． （ 1 e ， + ∞ ）

  B．（1，+∞）

  C． （ 2 e ， + ∞ ）

  D．（e,+∞）
  組卷：647引用：12難度：0.4

  解析

四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）

• 21．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  3

  a

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ）

  的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，P是直線l：

  x

  =

  a

  2

  上一點(diǎn)，且P不在x軸上，以點(diǎn)P為圓心，線段PF的長為半徑的圓弧AF交C的右支于點(diǎn)N．
  （1）證明：∠APN=2∠NPF．
  （2）若直線PF與C的左、右兩支分別交于E，D兩點(diǎn)，過E作l的垂線，垂足為R，試判斷直線DR是否過定點(diǎn)．若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
  組卷：232引用：8難度：0.6

  解析

• 22．已知函數(shù)f（x）=x²-x,g（x）=alnx（a＞0）．
  （1）若f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
  （2）設(shè)n∈N^*，求證：

  （

  1

  +

  1

  2

  +

  ?

  +

  1

  n

  ）

  +

  （

  1

  +

  1

  4

  +

  ?

  +

  1

  n

  2

  ）

  ＞

  ln

  （

  n

  +

  1

  ）

  ．
  組卷：153引用：3難度：0.5

  解析