2021年上海交大附中高考數(shù)學(xué)最后模擬試卷

一、填空題

• 1．方程組

  x - 2 y - 5 = 0

  3 x + y = 8

  的增廣矩陣為

  ．
  組卷：48引用：9難度：0.9

  解析

• 2．設(shè)向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  1

  ）

  ，

  e

  是與

  a

  方向相反的單位向量，則

  e

  的坐標(biāo)為

  ．
  組卷：157引用：2難度：0.8

  解析

• 3．用二分法研究方程x³+3x-1=0的近似解x=x₀，借助計(jì)算器經(jīng)過若干次運(yùn)算得如表：
  

  運(yùn)算次數(shù)	1	…	4	5	6	…
  解的范圍	（0，0.5）	…	（0.3125，0.375）	（0.3125，0.34375）	（0.3125，0.328125）	…

  若精確到0.1，至少運(yùn)算n次，則n+x₀的值為

  ．
  組卷：159引用：6難度：0.9

  解析

• 4．設(shè)（1+2x）ⁿ展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為a_n，各項(xiàng)系數(shù)之和為b_n，則

  lim

  n

  →∞

  a

  n

  -

  b

  n

  a

  n

  +

  b

  n

  =

  ．
  組卷：50引用：5難度：0.9

  解析

• 5．若變量x、y滿足條件

  y ≥ 0

  x + 2 y ≥ 1

  x + 4 y ≤ 3

  ，則z=x-2y的最小值是

  ．
  組卷：35引用：1難度：0.7

  解析

• 6．已知復(fù)數(shù)

  z

  1

  =

  1

  +

  3

  i,|z₂|=1，z₁z₂是正實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z₂=

  ．
  組卷：64引用：1難度：0.8

  解析

• 7．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中圓的直徑為4，該幾何體的體積為
  V₁．直徑為4的球的體積為V₂，則V₁：V₂=

  ．
  組卷：76引用：2難度：0.5

  解析

三、解答題

• 20．已知橢圓C：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =1，直線l過右焦點(diǎn)F與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上，且O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
  （1）小明在計(jì)算△OAB的面積的最大值的時(shí)候用了如下方法，其中有兩處出錯(cuò)，請指出其中的一處錯(cuò)誤之處，并說明原因；
  解答：設(shè)

  A

  （

  2

  cosα

  ，

  3

  sinα

  ）

  ，

  B

  （

  2

  cosβ

  ，

  3

  sinβ

  ）

  ，則S_△AOB=

  1

  2

  2 cosα	3 sinα	1
  2 cosβ	3 sinβ	1
  0	0	1

  =

  3

  |sin（β+α）|≤

  3

  ，所以△OAB的面積的最大值為

  3

  ．
  （2）請給出題目（1）中問題的正確解答；
  （3）小明雖然做錯(cuò)了，但這種方法在計(jì)算某些題目時(shí)會比常規(guī)方法便捷些，如求證下面問題，求證：當(dāng)△PQR的重心為原點(diǎn)O時(shí)，△PQR的面積是定值．
  組卷：73引用：1難度：0.2

  解析

• 21．在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：

  sinh

  （

  x

  ）

  =

  e

  x

  -

  e

  -

  x

  2

  ，雙曲余弦函數(shù)：

  cosh

  （

  x

  ）

  =

  e

  x

  +

  e

  -

  x

  2

  ，（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
  （1）解方程：cosh（x）=2；
  （2）寫出雙曲正弦與兩角和的正弦公式類似的展開式：sinh（x+y）=_____，并證明；
  （3）無窮數(shù)列{a_n}，a₁=a,

  a

  n

  +

  1

  =

  2

  a

  2

  n

  -

  1

  ，是否存在實(shí)數(shù)a,使得

  a

  2021

  =

  5

  4

  ？若存在，求出a的值，若不存在，說明理由．
  組卷：289引用：1難度：0.1

  解析