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已知橢圓C：
x
2
4
+
y
2
3
=1，直線l過右焦點F與橢圓交于A、B兩點，△PQR的三個頂點均在橢圓上，且O為坐標原點．
（1）小明在計算△OAB的面積的最大值的時候用了如下方法，其中有兩處出錯，請指出其中的一處錯誤之處，并說明原因；
解答：設
A
（
2
cosα
，
3
sinα
）
，
B
（
2
cosβ
，
3
sinβ
）
，則S_△AOB=
1
2
2
cosα
3
sinα
1
2
cosβ
3
sinβ
1
0
0
1
=
3
|sin（β+α）|≤
3
，所以△OAB的面積的最大值為
3
．
（2）請給出題目（1）中問題的正確解答；
（3）小明雖然做錯了，但這種方法在計算某些題目時會比常規(guī)方法便捷些，如求證下面問題，求證：當△PQR的重心為原點O時，△PQR的面積是定值．

【考點】直線與橢圓的綜合．

【答案】見試題解答內容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：73引用：1難度：0.2

相似題

1．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其中法線l′表示與橢圓C的切線垂直且過相應切點的直線，利用橢圓的光學性質解決以下問題：
如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為F₁（-c,0），F₂（c,0）（c＞0），由F₁發(fā)出的光經橢圓兩次反射后回到F₁經過的路程為
8
3
3
c
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為l,F₂在l上的射影H在圓x²+y²=4上，求橢圓C的方程．
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：137引用：1難度：0.5
解析
2．已知橢圓
4
x
2
25
+
y
2
3
=
1
的左、右焦點分別為F₁，F₂，第一象限內的點M在橢圓上，且滿足MF₁⊥MF₂，點N在線段F₁F₂上，設λ=
|
F
1
N
|
|
N
F
2
|
，將△MF₁F₂沿MN翻折，使得平面MNF₁與平面MNF₂垂直，要使翻折后|F₁F₂|的長度最小，則λ=（　　）
A．
3
2
B．2 C．
4
9
D．
9
4
發(fā)布：2024/11/6 12:0:1組卷：454難度：0.3
解析
3．橢圓的光學性質：光線從橢圓的一個焦點出發(fā)經橢圓反射后通過另一個焦點．現有一橢圓
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，長軸A₁A₂長為4，從一個焦點F發(fā)出的一條光線經橢圓內壁上一點P反射之后恰好與x軸垂直，且
PF
=
5
2
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）點Q為直線x=4上一點，且Q不在x軸上，直線QA₁，QA₂與橢圓C的另外一個交點分別為M，N，設△QA₁A₂，△QMN的面積分別為S₁，S₂，求
S
1
S
2
的最大值．
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：43難度：0.5
解析

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2．已知橢圓4x225+y23=1的左、右焦點分別為F1，F2，第一象限內的點M在橢圓上，且滿足MF1⊥MF2，點N在線段F1F2上，設λ=|F1N||NF2|，將△MF1F2沿MN翻折，使得平面MNF1與平面MNF2垂直，要使翻折后|F1F2|的長度最小，則λ=（ ）