2022-2023學年上海市楊浦區(qū)控江中學高二（下）期中數學試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置填寫結果.

• 1．向量

  a

  =

  （

  3

  ，

  0

  ，

  1

  ）

  的模

  |

  a

  |

  =

  ．
  組卷：21難度：0.8

  解析

• 2．函數y=lnx的導函數的定義域為

  ．
  組卷：51難度：0.8

  解析

• 3．根據二項式定理，（1+x）¹⁰的二項展開式共有

  項．
  組卷：85難度：0.8

  解析

• 4．設m,n∈R，若向量

  a

  =

  （

  2

  ，-

  1

  ，

  3

  ）

  與向量

  b

  =

  （

  m

  ,

  2

  ，

  n

  ）

  平行，則m+n=

  ．
  組卷：83引用：2難度：0.7

  解析

• 5．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  cos

  （

  x

  -

  π

  3

  ）

  ，則函數y=f（x）的導函數f'（x）=

  ．
  組卷：37引用：1難度：0.7

  解析

• 6．設a∈R，若1是函數f（x）=ax+lnx的一個駐點，則a=

  ．
  組卷：159引用：2難度：0.8

  解析

• 7．在

  （

  3

  x

  +

  2

  x

  ）

  8

  的二項展開式中，常數項為

  ．
  組卷：45難度：0.8

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.

• 20．設實數m≠0．對任意給定的實數x,都有（3+mx）⁹⁹=a₀+a₁x+a₂x²+?+a₉₉x⁹⁹．
  （1）當m=1時，求a₉₇+a₉₈的值；
  （2）若m是整數，且滿足6＜

  a

  5

  a

  4

  ＜7成立，求a₀+a₁+a₂+?+a₉₉的值；
  （3）當m∈（12，13）時，根據m的取值，討論（3+mx）⁹⁹的二項展開式中系數最大的項是第幾項．
  組卷：80難度：0.4

  解析

• 21．設常數λ∈（0，1）．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點Q滿足

  D

  1

  Q

  =

  λ

  D

  1

  C

  1

  ，點M、N分別為棱AD、AB上的動點（均不與頂點重合），且滿足

  |

  AN

  |

  =

  λ

  |

  DM

  |

  ，記

  |

  DM

  |

  =

  a

  ．以A為原點，分別以

  AB

  、

  AD

  與

  A

  A

  1

  的方向為x、y與z軸的正方向，建立如圖空間直角坐標系．
  （1）用λ和a表示點M、N、Q的坐標；
  （2）設

  a

  =

  1

  2

  ，若∠MA₁N=∠AMN，求常數λ的值；
  （3）記Q到平面MA₁N的距離為h（a）．求證：若關于a的方程

  h

  （

  a

  ）

  =

  5

  2

  λ

  在（0，1）上恰有兩個不同的解，則這兩個解中至少有一個大于

  1

  2

  ．
  組卷：51難度：0.3

  解析