綜合與實踐
問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5．點D在Rt△ABC斜邊BC上運動，過點D作射線DP⊥DQ，分別與邊AB，AC交于點P，Q．
猜想證明：
（1）當點D在Rt△ABC斜邊BC的中點處時，
①如圖（1），在∠PDQ旋轉過程中，當點DP⊥AB時，DQ與BP的數(shù)量關系是 DQ=BPDQ=BP，DQDP=3434；
②當∠PDQ旋轉到如圖②所示的位置時，DQDP的值是否發(fā)生變化？若不變，請證明；若變化，請說明理由；
③如圖③，在∠PDQ旋轉過程中，當AP=AQ時，直接寫出線段AQ的長 25142514；
類比探究
（2）當點D在Rt△ABC斜邊BC上運動時，
①如圖④，當點D運動到BD：BC=2：5時，DQDP=9898；
②如圖⑤，連接PQ，當△DPQ是等腰三角形時，求BD的長．
DQ
DP
3
4
3
4
DQ
DP
25
14
25
14
DQ
DP
9
8
9
8
【考點】相似形綜合題．
【答案】DQ=BP；；；
3
4
25
14
9
8
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/5 8:0:8組卷：25引用：2難度：0.5
相似題
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1．已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．
問題發(fā)現(xiàn)：
（1）①如圖1，若四邊形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，則=；DECF
②如圖2，當四邊形ABCD是矩形時，且DE⊥CF于G，AB=m,AD=n,則=；DECF
拓展研究：
（2）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，且∠B+∠EGC=180°時，求證：；DECF=ADCD
解決問題：
（3）如圖4，若BA=BC=5，DA=DC=10，∠BAD=90°，DE⊥CF于G，請直接寫出的值．DECF
發(fā)布：2025/5/23 23:30:1組卷：2292引用：6難度：0.3 -
2．[問題情境]
（1）王老師給愛好學習的小明和小穎提出這樣一個問題：如圖①，在△ABC中，AB=AC，P為邊BC上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，過點C作CF⊥AB，垂足為F．求證：PD+PE=CF．
小明的證明思路是：
如圖②，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．
小穎的證明思路是：
如圖②，過點P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD=GF，PE=CG，則PD+PE=CF．
請你選擇小明、小穎兩種證明思路中的任意一種，寫出詳細的證明過程．
[變式探究]（2）如圖③，當點P在BC延長線上時，問題情境中，其余條件不變，求證：PD-PE=CF．
[結論運用]（3）如圖④，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C'處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分別為G，H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．
[遷移拓展]（4）圖⑤是一個機器模型的截面示意圖，在四邊形ABCD中，E為AB邊上的一點，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D，C，且AD?CE=DE?BC，AB=2cm,AD=3cm,BD=13cm,MN分別為AE，BE的中點，連接DM，CN，請直接寫出△DEM與△CEN的周長之和．37
發(fā)布：2025/5/24 0:30:1組卷：278引用：1難度：0.1 -
3．在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F(xiàn)是對角線AC上不與點A，C重合的一點，過F作FE⊥AD于E，將△AEF沿EF翻折得到△GEF，點G在射線AD上，連接CG．
（1）如圖1，若點A的對稱點G落在AD上，∠FGC=90°，延長GF交AB于H，連接CH．
①求證：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如圖2，若點A的對稱點G落在AD延長線上，∠GCF=90°，判斷△GCF與△AEF是否全等，并說明理由．
發(fā)布：2025/5/23 23:0:1組卷：1132引用：5難度：0.3