如圖,T是3行3列的數(shù)表,用a
ij(i,j=1,2,3)表示位于第i行第j列的數(shù),且滿足a
ij∈{0,1}.
a11 |
a12 |
a13 |
a21 |
a22 |
a23 |
a31 |
a32 |
a33 |
數(shù)表中有公共邊的兩項(xiàng)稱為相鄰項(xiàng),例如上表中a
11的相鄰項(xiàng)僅有a
12和a
21.對(duì)于數(shù)表T,定義操作φ
ij為將該數(shù)表中的a
ij以及a
ij的相鄰項(xiàng)從x變?yōu)?-x,其他項(xiàng)不變,并將操作的結(jié)果記為φ
ij(T).已知數(shù)表T
0滿足a
ij=0,i,j∈{1,2,3}.記變換Ψ為n個(gè)連續(xù)的上述操作,即
,使得
,并記T
n=Ψ(T
0).
(1)給定變換Ψ:φ
11,φ
22,φ
33,直接寫出T
3=Ψ(T
0).
(2)若T′滿足a
12=a
21=a
22=a
23=1,其他項(xiàng)均為0.Ψ是含n次操作的變換且有T′=Ψ(T
0),求n的最小值.
(3)若變換Ψ中每個(gè)操作φ
ij至多只出現(xiàn)一次,則稱變換Ψ是一個(gè)“優(yōu)變換”,證明:任給一個(gè)數(shù)表T:(a
ij),a
ij∈{0,1},i,j∈{1,2,3},存在唯一的一個(gè)“優(yōu)變換”Ψ,使得T=Ψ(T
0).