2023-2024學(xué)年北京市中國人民大學(xué)附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置．）

• 1．已知集合A={x|x≤2}，B=[0，3]，則A∩B=（　　）

  A．{3}

  B．{0}

  C．[0，2]

  D．{0，3}
  組卷：50引用：4難度：0.8

  解析
• 2．下列函數(shù)既是偶函數(shù)且又在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)的是（　　）

  A．f（x）=cos2x

  B．f（x）=ex

  C．f（x）=lg|x|

  D．f（x）= x - 2 3
  組卷：24引用：2難度：0.7

  解析
• 3．已知角θ的終邊過點(diǎn)P（-12，5），則tanθ=（　?。?/div>

  A．- 5 12

  B．- 12 5

  C． 12 5

  D． 5 12
  組卷：319引用：2難度：0.7

  解析
• 4．若

  a

  =

  （

  1

  2

  ）

  0

  .

  3

  ，

  b

  =

  0

  ．

  3

  -

  2

  ，

  c

  =

  lo

  g

  1

  3

  3

  ，則a,b,c大小關(guān)系為（　　）

  A．a(chǎn)＞b＞c

  B．b＞a＞c

  C．c＞b＞a

  D．a(chǎn)＞c＞b
  組卷：72引用：2難度：0.7

  解析
• 5．設(shè)a,b∈R，且a＜b＜0，則（　?。?/div>

  A． 1 a ＜ 1 b

  B．b2＞ab

  C． a + b 2 ＞ ab

  D． b a + a b ＞ 2
  組卷：63引用：2難度：0.7

  解析
• 6．一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，若它所經(jīng)過的位移與時間的關(guān)系為

  s

  （

  t

  ）

  =

  1

  2

  t

  2

  +

  t

  ，設(shè)其在時間段[1，2]內(nèi)的平均速度為（　　）

  A．2

  B． 3 2

  C．3

  D． 5 2
  組卷：308引用：4難度：0.8

  解析
• 7．已知

  A

  =

  {

  y

  |

  y

  =

  2

  x

  ，

  x

  ＜

  0

  }

  ，

  B

  =

  {

  x

  |

  lo

  g

  1

  2

  x

  ＞

  1

  }

  ，則“x∈A”是“x∈B”成立的（　?。?/div>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充分必要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：19引用：2難度：0.7

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三、解答題（本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程、請?jiān)诖痤}紙上的相應(yīng)位置作答．）

• 20．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  3

  x

  3

  +

  1

  2

  x

  2

  +

  ax

  ,

  g

  （

  x

  ）

  =

  x

  e

  x

  -

  1

  +

  xlnx

  ．
  （1）判斷函數(shù)y=g（x）零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；
  （2）對任意的x₁∈（0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f′（x₁）≤g′（x₂）-2求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
  （3）在（2）的條件下，證明：?x＞0，有g(shù)（x）≥f′（x）．
  組卷：67引用：2難度：0.3

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• 21．如圖，T是3行3列的數(shù)表，用a_ij（i,j=1，2，3）表示位于第i行第j列的數(shù)，且滿足a_ij∈{0，1}．
  

  a11	a12	a13
  a21	a22	a23
  a31	a32	a33

  數(shù)表中有公共邊的兩項(xiàng)稱為相鄰項(xiàng)，例如上表中a₁₁的相鄰項(xiàng)僅有a₁₂和a₂₁．對于數(shù)表T，定義操作φ_ij為將該數(shù)表中的a_ij以及a_ij的相鄰項(xiàng)從x變?yōu)?-x,其他項(xiàng)不變，并將操作的結(jié)果記為φ_ij（T）．已知數(shù)表T₀滿足a_ij=0，i,j∈{1，2，3}．記變換Ψ為n個連續(xù)的上述操作，即

  Ψ

  ：

  φ

  i

  1

  j

  1

  ，

  φ

  i

  2

  j

  2

  ，

  ?

  ，

  φ

  i

  n

  j

  n

  ，使得

  T

  1

  =

  φ

  i

  1

  j

  1

  （

  T

  0

  ）

  ，

  T

  2

  =

  φ

  i

  2

  j

  2

  （

  T

  1

  ）

  ，

  ?

  ，

  T

  n

  =

  φ

  i

  n

  j

  n

  （

  T

  n

  -

  1

  ）

  ，并記T_n=Ψ（T₀）．
  （1）給定變換Ψ：φ₁₁，φ₂₂，φ₃₃，直接寫出T₃=Ψ（T₀）．
  （2）若T′滿足a₁₂=a₂₁=a₂₂=a₂₃=1，其他項(xiàng)均為0．Ψ是含n次操作的變換且有T′=Ψ（T₀），求n的最小值．
  （3）若變換Ψ中每個操作φ_ij至多只出現(xiàn)一次，則稱變換Ψ是一個“優(yōu)變換”，證明：任給一個數(shù)表T：（a_ij），a_ij∈{0，1}，i,j∈{1，2，3}，存在唯一的一個“優(yōu)變換”Ψ，使得T=Ψ（T₀）．
  組卷：23引用：2難度：0.5

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