如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+mx-3經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，連接AC．
?
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線y=kx-k（k≠0）與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)且點(diǎn)Q在第四象限），當(dāng)直線PQ與直線AC相交所成的一個(gè)角為45°時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如圖2，作直線AP，AG分別交y軸正、負(fù)半軸于點(diǎn)M、N，交拋物線于點(diǎn)P、G，設(shè)點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)分別為m、n,且mn=-3，求證：直線PG經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x-3；頂點(diǎn)C（1，-4）；
（2）Q（2，-3）；
（3）證明見解答過程．
（2）Q（2，-3）；
（3）證明見解答過程．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/10/11 15:0:1組卷：671引用：2難度：0.1
相似題
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1．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，
．tan∠ACO=13
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，P點(diǎn)為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D點(diǎn)是BC中點(diǎn)，連接PD，BD，PB．求△BDP面積的最大值以及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線向左平移1個(gè)單位長度，得到新的拋物線y1，M為新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，N為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)P、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
發(fā)布：2025/6/20 5:0:1組卷：155引用：2難度：0.3 -
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2-2ax+a-2（a＞0）．分別過點(diǎn)M（t,0）和點(diǎn)N（t+2，0）作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)A和點(diǎn)B．記拋物線在A，B之間的部分為圖象G（包括A，B兩點(diǎn)）．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）記圖象G上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為m.
①當(dāng)a=2時(shí)，若圖象G為軸對(duì)稱圖形，求m的值；
②若存在實(shí)數(shù)t,使得m=2，直接寫出a的取值范圍．發(fā)布：2025/6/20 5:0:1組卷：2209引用：5難度：0.1 -
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，y=ax2+bx+c（a＞0）的頂點(diǎn)是（h,k），點(diǎn)P（x1，p），Q（x2，q）是該拋物線上任意兩點(diǎn)，x1＜x2．
（1）若x1+x2=-2．
①若h=-1，比較p,q的大小關(guān)系；
②如果a=t,b=2t-1，比較p,q的大小關(guān)系，并說明理由．
（2）若x2=x1+6，當(dāng)x1＞1時(shí)，p＜q恒成立，直接寫出h的取值范圍．發(fā)布：2025/6/20 4:0:1組卷：39引用：1難度：0.4