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2023年上海市楊浦區(qū)復旦大學附中高考數學模擬試卷

發(fā)布：2024/5/2 8:0:9

一、填空題

1．已知集合A={x,x²+1，-1}中的最大元素為2，則實數x=
．
組卷：484難度：0.9
解析
2．函數y=2cosx的嚴格減區(qū)間為
．
組卷：108引用：2難度：0.8
解析
3．若函數y=f（x）為偶函數，且當x＜0時，f（x）=2^x-1，則f（1）=
．
組卷：248引用：5難度：0.7
解析
4．若某圓錐高為3，其側面積與底面積之比為2：1，則該圓錐的體積為
．
組卷：181引用：7難度：0.6
解析
5．已知樣本數據2、4、8、m的極差為10，其中m＞0，則該組數據的方差為
．
組卷：60引用：2難度：0.7
解析
6．在財務審計中，我們可以用“本?福特定律”來檢驗數據是否造假．本?福特定律指出，在一組沒有人為編造的自然生成的數據（均為正實數）中，首位非零的數字是1～9這九個事件不是等可能的．具體來說，隨機變量X是一組沒有人為編造的首位非零數字，則
P
（
X
=
k
）
=
lg
k
+
1
k
，
k
=
1
，
2
，
?
，
9
．則根據本?福特定律，首位非零數字是1與首位非零數字是8的概率之比約為
（保留至整數）．
組卷：80引用：2難度：0.7
解析
7．若（1-2x）²⁰¹³=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³（x∈R），則
a
1
2
+
a
2
2
2
+…+
a
2013
2
2013
=
．
組卷：255引用：4難度：0.5
解析

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三、解答題

20．貝塞爾曲線是計算機圖形學和相關領域中重要的參數曲線．法國數學家卡斯特利奧對貝塞爾曲線進行了圖形化應用的測試，提出了DeCasteljau算法：已知三個定點，根據對應的比例，使用遞推畫法，可以畫出拋物線．反之，已知拋物線上三點的切線，也有相應成比例的結論．如圖所示，拋物線Γ：x²=2py,其中p＞0為一給定的實數．
（1）寫出拋物線Γ的焦點坐標及準線方程；
（2）若直線l：y=kx-2pk+2p與拋物線只有一個公共點，求實數k的值；
（3）如圖，A，B，C是H上不同的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點D，E，F，證明：
|
AD
|
|
DE
|
=
|
EF
|
|
FC
|
=
|
DB
|
|
BF
|
．
組卷：105難度：0.3
解析
21．設y=f（x）是定義域為R的函數，如果對任意的x₁、x₂∈R（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|均成立，則稱y=f（x）是“平緩函數”．
（1）若
f
1
（
x
）
=
1
x
2
+
1
，
f
2
（
x
）
=
sinx
，試判斷y=f₁（x）和y=f₂（x）是否為“平緩函數”？并說明理由；（參考公式：x＞0時，sinx＜x恒成立）
（2）若函數y=f（x）是“平緩函數”，且y=f（x）是以1為周期的周期函數，證明：對任意的x₁、x₂∈R，均有
|
f
（
x
1
）
-
f
（
x
2
）
|
＜
1
2
；
（3）設y=g（x）為定義在R上函數，且存在正常數A＞1使得函數y=A?g（x）為“平緩函數”．現定義數列{x_n}滿足：x₁=0，x_n=g（x_n-1）（n=2，3，4，?），試證明：對任意的正整數
n
,
g
（
x
n
）
≤
A
|
g
（
0
）
|
A
-
1
．
組卷：91難度：0.2
解析