2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)南匯中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題：

• 1．已知集合A={-1，0，2}，B={x|x≤1}，則A∩B=

  ．
  組卷：34引用：4難度：0.8

  解析

• 2．已知復(fù)數(shù)z=

  1

  -

  i

  i

  （其中i為虛數(shù)單位），則|z|=

   

  ．
  組卷：108引用：6難度：0.9

  解析

• 3．已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，-

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  m

  +

  1

  ，

  2

  m

  -

  4

  ）

  ，若

  a

  ∥

  b

  ，則m=

  ．
  組卷：60引用：2難度：0.8

  解析

• 4．已知函數(shù)f（x）=2x²+x,則f′（2）=

  ．
  組卷：84引用：2難度：0.7

  解析

• 5．在△ABC中，a²-b²=

  3

  bc

  ,

  sin

  C

  =

  2

  3

  sinB，則A=

  ．
  組卷：76引用：1難度：0.7

  解析

• 6．若P是等邊△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=2，△ABC的邊長(zhǎng)為3，則PC與平面ABC所成角的大小是

  ．
  組卷：37引用：2難度：0.6

  解析

• 7．若關(guān)于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a²+a+1有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

  ．
  組卷：105引用：3難度：0.7

  解析

三、解答題

• 20．已知函數(shù)y=f（x），y=g（x），其中f（x）=

  1

  x

  2

  ，g（x）=lnx.
  （1）求函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））的切線方程；
  （2）函數(shù)y=mf（x）+2g（x），m∈R，m≠0是否存在極值點(diǎn)，若存在求出極值點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
  （3）若關(guān)于x的不等式af（x）+g（x）≥a在區(qū)間（0，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
  組卷：307引用：6難度：0.6

  解析

• 21．已知f（x）是定義在[m,n]上的函數(shù)，記F（x）=f（x）-（ax+b），|F（x）|的最大值為M（a,b）．若存在m≤x₁＜x₂＜x₃≤n,滿足|F（x₁）|=M（a,b），F(xiàn)（x₂）=-F（x₁）．F（x₃）=F（x₁），則稱一次函數(shù)y=ax+b是f（x）的“逼近函數(shù)”，此時(shí)的M（a,b）稱為f（x）在[m,n]上的“逼近確界”．
  （1）驗(yàn)證：y=4x-1是g（x）=2x²，x∈[0，2]的“逼近函數(shù)”；
  （2）已知f（x）=

  x

  ，x∈[0，4]，F(xiàn)（0）=F（4）=-M（a,b）．若y=ax+b是f（x）的“逼近函數(shù)”，求a,b的值；
  （3）已知f（x）=

  x

  ，x∈[0，4]的逼近確界為

  1

  4

  ，求證：對(duì)任意常數(shù)a,b,M（a,b）≥

  1

  4

  ．
  組卷：104引用：4難度：0.1

  解析