2023-2024學年上海市普陀區(qū)曹楊二中高二（上）月考數學試卷（10月份）

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.

• 1．在空間中，若直線a與b無公共點，則直線a、b的位置關系是

   

  ．
  組卷：251難度：0.9

  解析

• 2．不等式

  x

  -

  1

  x

  ≤

  0

  的解集為

  ．
  組卷：17引用：3難度：0.7

  解析

• 3．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若AB=BC=1，AA₁=2，則點A₁到平面AB₁D的距離為

  ．
  組卷：20難度：0.5

  解析

• 4．已知復數z滿足

  z

  =

  2

  1

  -

  i

  （i為虛數單位），則Imz=

  ．
  組卷：41引用：4難度：0.8

  解析

• 5．一個水平放置的平面圖形的直觀圖是如圖所示的梯形OABC，其中OA=AB=1，AB∥OC，BC⊥AB，則原平面圖形的周長為

  ．
  組卷：28引用：1難度：0.7

  解析

• 6．已知ABCD是邊長為8的菱形，且∠B=30°．若PA⊥平面ABCD，且PA=3，則點P到直線BC的距離為

  ．
  組卷：29引用：1難度：0.6

  解析

• 7．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長與底面邊長相等，則AB₁與側面ACC₁A₁所成角的正弦值等于

   

  ．
  組卷：210引用：9難度：0.5

  解析

三、解答題（本大題滿分40分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟

• 20．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠CAB=90°，AB=AC=A₁B=A₁C=2

  2

  ，AA₁=2，點M，F分別為BC，A₁B₁的中點，點E為AM的中點．
  （1）證明：AA₁⊥BC；
  （2）證明：EF∥平面BCC₁B₁；
  （3）求直線EF與平面A₁BC所成角的正弦值．
  組卷：81難度：0.6

  解析

• 21．對于定義在R上的函數y=f（x）和y=g（x），若對任意給定的x₁，x₂∈R，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥|g（x₁）-g（x₂）|都成立，則稱函數y=g（x）是函數y=f（x）的“從屬函數”
  （1）若函數y=g（x）是函數y=f（x）的“從屬函數”，且y=f（x）是偶函數，求證：y=g（x）是偶函數
  （2）設

  f

  （

  x

  ）

  =

  ax

  +

  2

  x

  ，

  g

  （

  x

  ）

  =

  x

  2

  +

  1

  ．求證：當a≥1時，函數y=g（x）是函數y=f（x）的“從屬函數”；
  （3）若定義在R上的函數y=f（x）和y=g（x）的圖像均為一條連續(xù)曲線，且函數y=g（x）是函數y=f（x）的“從屬函數”，求證：“函數y=f（x）在R上是嚴格增函數或嚴格減函數”是“函數y=g（x）在R上是嚴格增函數或嚴格減函數”的必要非充分條件．
  組卷：252引用：6難度：0.3

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