2023-2024學(xué)年上海交大附中高三（上）摸底數(shù)學(xué)試卷

一、填空題.（本題共12小題，前6題每小題4分；后6題每小題4分，共54分.請在橫線上方填寫最終的、最簡、完整的結(jié)果）

• 1．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x=2t+1，t∈A}，則A∩B=

  ．
  組卷：79引用：4難度：0.8

  解析

• 2．不等式|x+1|+|x-3|≤6的解集為

  ．
  組卷：206引用：4難度：0.5

  解析

• 3．已知點A（-2，3），B（1，-1），則

  OA

  在

  OB

  方向上的數(shù)量投影為

  ．
  組卷：45引用：2難度：0.7

  解析

• 4．已知z=3+4i,若實數(shù)a、b滿足z+a

  z

  +b|z|=0，則a+b=

  ．
  組卷：36引用：2難度：0.8

  解析

• 5．如圖△ABC中，

  ∠

  ACB

  =

  90

  °

  ，

  ∠

  ABC

  =

  30

  °

  ，

  BC

  =

  5

  ，在三角形內(nèi)挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C，M，交BC于點N），則圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

  ．
  組卷：39引用：8難度：0.6

  解析

• 6．設(shè)x、y均為正數(shù)，且xy=1，則5^x?5^y的最小值為

  ．
  組卷：64引用：2難度：0.8

  解析

• 7．一個小球作簡諧振動，其運動方程為

  x

  （

  t

  ）

  =

  2

  sin

  （

  πt

  +

  π

  3

  ）

  ，其中x（t）（單位：cm）是小球相對于平衡點的位移，t（單位：s）為運動時間，則小球在t=2時的瞬時速度為

  cm/s.
  組卷：109引用：4難度：0.8

  解析

三、解答題.（本大題共5小題，滿分78分.請寫出必要的證明過程或演算步驟）

• 20．如圖，橢圓Γ₁、雙曲線Γ₂中都是坐標原點O，焦點都在x軸上，且具有相同的頂點A₁、A₂，Γ₁的焦點為F₁、F₂，Γ₂的焦點為E₁、E₂，點A₁、F₁、O、F₂、A₂恰為線段E₁E₂的六等分點，我們把Γ₁與Γ₂合成為曲線Γ，已知Γ₁的長軸長為4．
  （1）求曲線Γ₁與Γ₂的方程；
  （2）若M是Γ上的一動點，T（0，4）為定點，求|MT|的最小值；
  （3）若直線l過點O，與Γ₁交于P₁、P₂兩點，與Γ₂交于Q₁、Q₂兩點，點P₁、Q₁位于同一象限，且直線P₁F₁∥Q₁E₁，求直線l的斜率．
  組卷：38引用：2難度：0.5

  解析

• 21．記f'（x），g′（x）分別為函數(shù)f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)．若存在實數(shù)x₀，滿足f（x₀）=g（x₀）且f'（x₀）=g′（x₀），則稱x₀為函數(shù)f（x）與g（x）的一個“S點”．
  （1）證明：函數(shù)f（x）=x與g（x）=x²+2x-2不存在“S點”；
  （2）若存在實數(shù)b,使得函數(shù)f（x）=ax²+b與g（x）=lnx存在“S點”，求實數(shù)a的取值范圍；
  （3）已知函數(shù)f（x）=-x²+a,

  g

  （

  x

  ）

  =

  b

  e

  x

  x

  ．對任意常數(shù)a＞0，判斷是否存在常數(shù)b＞0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點”，并說明理由．
  組卷：43引用：2難度：0.4

  解析