2022-2023學年上海市黃浦區(qū)格致中學高三（上）期中數(shù)學試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中第1～6題每題滿分54分，第7～12題每分5分.）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果.

• 1．在等差數(shù)列{a_n}中，a₂+a₆=2，則a₄=

  ．
  組卷：319引用：4難度：0.8

  解析

• 2．若1∈{x,x²}，則x=

  ．
  組卷：669引用：17難度：0.9

  解析

• 3．

  （

  x

  2

  +

  2

  x

  ）

  5

  的展開式中x⁴的系數(shù)為

  ．
  組卷：115引用：4難度：0.8

  解析

• 4．設f（x）=2^x，則方程f'（x）=ln4的解集為

  ．
  組卷：42引用：4難度：0.8

  解析

• 5．已知角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點P（-1，2），則sin2α=

   

  ．
  組卷：67引用：4難度：0.7

  解析

• 6．對任意m∈R，直線（m+2）x+（2m-1）y+m+5=0過定點

  ．
  組卷：75引用：3難度：0.8

  解析

• 7．函數(shù)f（x）的定義域是（1，+∞），則函數(shù)f（x²-2x-2）的定義域是

  ．
  組卷：184引用：4難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分.）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

• 20．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  sin

  （

  ωx

  +

  π

  3

  ）

  ，ω＞0；
  （1）當ω=2時，求f（x）在

  [

  0

  ，

  π

  2

  ]

  的值域；
  （2）若至少存在三個

  x

  0

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  3

  ）

  使得f（x₀）=-1，求ω的取值范圍；
  （3）若f（x）在

  [

  π

  2

  ，

  π

  ]

  上是增函數(shù)，且存在

  m

  ∈

  [

  π

  2

  ，

  π

  ]

  ，使得

  f

  （

  2

  m

  -

  π

  3

  ω

  ）

  ＞

  2

  2

  成立，求實數(shù)ω的取值范圍．
  組卷：183引用：3難度：0.6

  解析

• 21．我們用“Q=f（P）”表示“將直角坐標平面內(nèi)點P（x,y）進行變換后得到Q=（x'，y'），即f（x,y）=（x'，y'），已知P₁（x₁，y₁），P_n=f（p_n-1）（n≥2，n∈N^*），若存在一個圈，使所有的點P_n（x_n，y_n）都在這個圓內(nèi)或圓上，則稱這個圓為P_n（x_n，y_n）的一個收斂圈．
  （1）若f（x,y）=（x+y,y-2），且P₁（2，1），判斷P_n（x_n，y_n）是否存在半徑為3的收斂圓．并說明理由；
  （2）若

  f

  （

  x

  ,

  y

  ）

  =

  （

  （

  1

  2

  ）

  x

  +

  1

  ，

  sin

  π

  2

  y

  ）

  ，且P₁（-1，0），求P_n（x_n，y_n）的半徑最小的收斂圓C₀的方程．
  （3）對于（2）中的圖C₀上一點P（x₀，y₀），f（x₀，y₀）=（by₀，bx₀）（b＞0），Q的軌跡為Γ，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓

  E

  ：

  x

  2

  2

  b

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  的焦點，M是Γ上異于F₁，F(xiàn)₂的一點，直線MF₁，MF₂與E分別相交于點A、B和C、D，判斷

  1

  |

  AB

  |

  +

  1

  |

  CD

  |

  是否為定值，證明你的結論．
  組卷：40引用：2難度：0.3

  解析