2021-2022學(xué)年山東省青島大學(xué)附中九年級（上）期初數(shù)學(xué)試卷

一．選擇題（每小題3分，共24分）

• 1．若分式

  x

  2

  -

  1

  x

  +

  1

  的值為0，則x的值為（　?。?/h2>

  A．0

  B．1

  C．-1

  D．±1
  組卷：4805引用：87難度：0.9

  解析

• 2．如圖所示圖形中既是中心對稱圖形，又能鑲嵌整個平面的有（　?。?br/>

  A．①②③④

  B．①②③

  C．②③

  D．③
  組卷：164引用：3難度：0.8

  解析

• 3．已知平行四邊形ABCD周長為26cm,對角線AC、BD相交于點O，已知△BOC的周長比△AOB的周長多3cm,則BC的長度為（　　）

  A．5cm

  B．6cm

  C．7cm

  D．8cm
  組卷：300引用：2難度：0.6

  解析

• 4．△ABC的頂點分別位于格點，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，將△ABC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移2個單位長度，得到△A′B′C′，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（　　）

  A．（-1，0）

  B．（-1，-2）

  C．（-1，-1）

  D．（-7，0）
  組卷：209引用：2難度：0.5

  解析

• 5．若關(guān)于x的方程

  x

  +

  4

  x

  -

  3

  =

  m

  x

  -

  3

  +2有增根，則m的值是（　　）

  A．7

  B．3

  C．4

  D．0
  組卷：1020引用：14難度：0.9

  解析

• 6．如圖，△ABC中，AB=6，AC=4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，BF⊥AC于點F，DE=2，則BF的長為（　?。?/h2>

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  組卷：1725引用：8難度：0.7

  解析

• 7．如圖，已知直線y=mx過點A（-2，-4），過點A的直線y=nx+b交x軸于點B（-4，0），則關(guān)于x的不等式組nx+b≤mx＜0的解集為（　?。?/h2>

  A．x≤-2

  B．-4＜x≤-2

  C．x≥-2

  D．-2≤x＜0
  組卷：5058引用：14難度：0.7

  解析

• 8．如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則△ABC的面積為（　　）

  A． 9 + 25 3 4

  B． 9 + 25 3 2

  C． 18 + 25 3

  D． 18 + 25 3 2
  組卷：9485引用：17難度：0.3

  解析

四、解答題（本大題共9小題，共74分）

• 23．【實際問題】小明家住16樓．一天，他要把一根3米長的竹竿放入電梯帶回家中．如果竹竿恰好剛能放入電梯中（如圖①示），那么，電梯的長、寬、高和的最大值是多少米？
  
  【類比探究】為了解決這個實際問題，我們首先探究下面的數(shù)學(xué)問題．
  探究1：如圖②，在△ABC中，AC⊥BC．若BC=a,AC=b,AB=c,則b與c之間有什么數(shù)量關(guān)系？
  解：在△ABC中，∵AC⊥BC，
  ∴BC²+AC²=AB²，即a²+b²=c²．
  ∵（a-b）²≥0，
  ∴a²+b²-2ab≥0．
  ∴a²+b²≥2ab.
  ∴c²≥2ab.
  ∴c²+a²+b²≥2ab+a²+b²．
  ∴2c²≥（a+b）²．
  ∵a,b,c均大于0，
  ∴a+b與c之間的數(shù)量關(guān)系是a+b≤

  2

  c.
  探究2：如圖③，在四邊形ABCD中，AC是對角線，AB⊥BC，AC⊥CD．若AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,則a+b+c與d之間有什么數(shù)量關(guān)系？
  解：∵AB⊥BC，AC⊥CD，
  ∴BC²+AB²=AC²，AC²+CD²=AD²．
  ∴a²+b²+c²=d²．
  ∵（a-b）²≥0，（a-c）²≥0，（b-c）²≥0，
  ∴a²+b²≥2ab,a²+c²≥2ac,b²+c²≥2bc.
  將上面三式相加得，2a²+2b²+2c²≥2ab+2ac+2bc,
  ∴2d²≥2ab+2ac+2bc.
  ∴2d²+a²+b²+c²≥2ab+2ac+2bc+a²+b²+c²．
  ∴

  d²≥（a+b+c）²．
  ∵a,b,c,d均大于0，
  ∴a+b+c與d之間有這樣的數(shù)量關(guān)系：a+b+c≤

  d.
  探究3：如圖④，仿照上面的方法探究，在五邊形ABCDE中，AC，AD是對角線，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,AE=e,則a+b+c+d與e之間的數(shù)量關(guān)系是

  ．
  【歸納結(jié)論】
  當(dāng)a₁＞0，a₂＞0，…，a_n＞0，m＞0時，若a₁²+a₂²+…+a_n²=m²，則a₁+a₂+…+a_n與m之間的數(shù)量關(guān)系是

  ．
  【問題解決】
  小明家住16樓．一天，他要把一根3米長的竹竿放入電梯帶回家中．如果竹竿恰好剛能放入電梯中（如圖①示），那么，電梯的長、寬、高和的最大值是

  米．
  【拓展延伸】
  公園準備修建一個四邊形水池，邊長分別為a米，b米，c米，d米．分別以水池四邊為邊向外建四個正方形花園，若花園面積和為400平方米，則水池的最大周長為

  米．
  組卷：587引用：4難度：0.2

  解析

• 24．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm,AB=6cm,BC=10cm,點Q從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點D運動，點P從點B出發(fā)沿BC方向以2cm/s的速度向點C運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點P到達點C時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
  （1）當(dāng)t等于多少時，四邊形ABPQ的面積為18cm²；
  （2）若以P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求t的值；
  （3）當(dāng)0＜t＜5時，若DQ≠DP，當(dāng)t為何值時，△DPQ是等腰三角形？
  
  組卷：820引用：4難度：0.3

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