2023-2024學(xué)年江蘇省常州高級(jí)中學(xué)高三（上）期初數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．已知復(fù)數(shù)z滿足

  （

  1

  -

  i

  ）

  z

  =

  2

  2

  （其中i為虛數(shù)單位），則|z|等于（　　）

  A．1

  B． 2

  C．2

  D． 2 2
  組卷：20引用：3難度：0.8

  解析

• 2．已知全集U=R，集合A={x||x-1|＜1}，B={x|x＜1或x≥4}，則A∪（?_UB）=（　　）

  A．{x|1＜x＜2}

  B．{x|0＜x＜4}

  C．{x|1≤x＜2}

  D．{x|0＜x≤4}
  組卷：473引用：14難度：0.8

  解析

• 3．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，已知異面直線l₁，l₂的方向向量分別為

  a

  =

  （

  1

  ，-

  1

  ，-

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  1

  ，

  2

  ）

  ，則l₁，l₂所成角的余弦值為（　?。?/h2>

  A． 2 3

  B． 5 3

  C． - 2 3

  D． - 5 3
  組卷：18引用：3難度：0.8

  解析

• 4．若函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  7

  +

  ax

  -

  x

  2

  在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　?。?/h2>

  A．a(chǎn)＜-2

  B．a(chǎn)≤-2

  C．-6＜a＜-2

  D．-6≤a≤-2
  組卷：79引用：2難度：0.7

  解析

• 5．設(shè)m,n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（　?。?/h2>

  A．若m⊥n,n∥α，則m⊥α	B．若m∥β，β⊥α，則m⊥α
  C．若m⊥n,n⊥β，β⊥α，則m⊥α	D．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α
  組卷：421引用：18難度：0.9

  解析

• 6．設(shè)a＞0，已知

  （

  x

  2

  +

  a

  x

  ）

  n

  的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256，則

  （

  x

  2

  +

  2

  +

  1

  x

  2

  ）

  2

  a

  中x²的系數(shù)為（　?。?/h2>

  A．0

  B．2

  C．4

  D．8
  組卷：149引用：2難度：0.5

  解析

• 7．已知在直角三角形ABC中，CA=CB=1，以斜邊AB的中點(diǎn)O為圓心，AB為直徑，在點(diǎn)C的另一側(cè)作半圓弧AB，M為半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則

  CA

  ?

  CM

  的取值范圍為（　?。?/h2>

  A． [ 0 ， 1 + 2 2 ]

  B．[0，1]

  C． [ 0 ， 3 2 ]

  D． [ 1 - 2 2 ， 1 ]
  組卷：66引用：2難度：0.6

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四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．某校為了增強(qiáng)學(xué)生的安全意識(shí)，組織學(xué)生參加安全知識(shí)答題競賽，每位參賽學(xué)生可答題若干次，答題賦分方法如下：第一次答題，答對(duì)得2分，答錯(cuò)得1分；從第二次答題開始，答對(duì)則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯(cuò)得1分．學(xué)生甲參加這次答題競賽，每次答對(duì)的概率為

  2

  3

  ，且每次答題結(jié)果互不影響．
  （1）求學(xué)生甲前三次答題得分之和為4分的概率；
  （2）設(shè)學(xué)生甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)

  X

  i

  （

  i

  ∈

  N

  *

  ）

  的數(shù)學(xué)期望為E（X_i）．
  （ⅰ）求E（X₁），E（X₂），E（X₃）；
  （ⅱ）直接寫出E（X_i）與E（X_i-1）（i≥2）滿足的等量關(guān)系式（不必證明）；
  （ⅲ）根據(jù)（ⅱ）的等量關(guān)系求E（X_i）表達(dá)式，并求滿足E（X_i）＞10的i的最小值．
  組卷：42引用：2難度：0.5

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• 22．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  +

  ax

  -

  1

  x

  ，

  g

  （

  x

  ）

  =

  xlnx

  +

  （

  a

  -

  1

  ）

  x

  +

  1

  x

  ．
  （1）當(dāng)a=-2時(shí)，求f（x）的最大值；
  （2）當(dāng)a＞1時(shí)，試證明f（x）存在零點(diǎn)（記為x₀），g（x）存在極小值點(diǎn)（記為x₁），并比較x₀與x₁的大小關(guān)系．
  組卷：30引用：2難度：0.5

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