2022-2023學年湖南省長沙市長郡中學高一（下）期末數學試卷

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．已知復數z=i?（2+i），則復數z的共軛復數在復平面內對應的點在（　?。?/h2>

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：66難度：0.9

  解析

• 2．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，異面直線AD₁與BD所成角為（　?。?/h2>

  A．60°

  B．45°

  C．90°

  D．120°
  組卷：171難度：0.5

  解析

• 3．在△ABC中，

  BD

  =

  DC

  ，則

  AD

  =（　?。?/h2>

  A． 1 2 AB - 1 2 AC

  B． 1 2 AB + 1 2 AC

  C． 2 AB + 2 AC

  D． 2 AB - AC
  組卷：187引用：5難度：0.8

  解析

• 4．a、b為空間中兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，則下列結論正確的是（　?。?/h2>

  A．若a∥b,a∥α，則b∥α

  B．若a、b為異面直線，則過空間任一點M，存在直線c與a、b都垂直

  C．若a?α，α∩β=b,則a與b相交

  D．若a不垂直于α，且b?α，則a不垂直于b
  組卷：74引用：2難度：0.7

  解析

• 5．一個圓錐的側面展開的扇形面積是底面圓面積的2倍，若該圓錐的體積為

  9

  3

  π

  ，則該圓錐的母線長為（　　）

  A．3

  B．3 3

  C．6

  D． 6 3
  組卷：517引用：7難度：0.8

  解析

• 6．向量|

  a

  |=|

  b

  |=1，|

  c

  |=

  2

  ，且

  a

  +

  b

  +

  c

  =

  0

  ，則cos?

  a

  -

  c

  ，

  b

  -

  c

  ?=（　?。?/h2>

  A． - 1 5

  B． - 2 5

  C． 2 5

  D． 4 5
  組卷：3371引用：4難度：0.8

  解析

• 7．先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，事件A=“兩次擲出的點數之和是6”，事件B=“第一次擲出的點數是奇數”，事件C=“兩次擲出的點數相同”，則（　?。?/h2>

  A．A與B互斥	B．B與C相互獨立
  C． P （ A ） = 1 6	D．A與C互斥
  組卷：441難度：0.7

  解析

四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．已知三棱錐ABCD，D在面ABC上的投影為O，O恰好為△ABC的外心．AC=AB=4，BC=2．
  （1）證明：BC⊥AD；
  （2）E為AD上靠近A的四等分點，若三棱錐ABCD的體積為1，求二面角E-CO-B的余弦值．
  組卷：139難度：0.4

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• 22．甲、乙、丙、丁4名棋手進行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為i的方框表示第i場比賽，方框中是進行該場比賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者i”，負者稱為“負者i”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍．已知甲每場比賽獲勝的概率均為

  3

  4

  ，而乙、丙、丁相互之間勝負的可能性相同．
  （1）求乙僅參加兩場比賽且連負兩場的概率；
  （2）求甲獲得冠軍的概率；
  （3）求乙進入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率．
  組卷：311引用：11難度：0.5

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