2010年競賽輔導：三角形四心競賽講義

一、選擇題（共1小題，每小題4分，滿分4分）

• 1．設H為銳角△ABC的三條高AD、BE、CF的交點，若BC=a,AC=b,AB=c,則AH?AD+BH?BE+CH?CF等于（　?。?/h2>

  A． 1 2 （ab+bc+ca）	B． 1 2 （a2+b2+c2）
  C． 2 3 （ab+bc+ca）	D． 2 3 （a2+b2+c2）
  組卷：327引用：2難度：0.9

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二、解答題（共54小題，滿分0分）

• 2．已知：△ABC中，XX′，YY′，ZZ′分別是BC，AC，AB邊的垂直平分線，求證：XX′，YY′，
  ZZ′相交于一點．
  組卷：118引用：1難度：0.9

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• 3．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，
  求證：△ABC的外心O與點A、P、Q四點共圓．
  組卷：485引用：3難度：0.1

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• 4．如圖所示，在△ABC的大邊AB上取AN=AC，BM=BC，點P為△ABC的內(nèi)心，求證：∠MPN=∠A+∠B．
  組卷：98引用：1難度：0.9

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• 5．AB為半圓O的直徑，其弦AF、BE相交于Q，過E、F分別作半圓的切線得交點P，求證：PQ⊥AB．
  組卷：153引用：1難度：0.9

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• 6．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分別是∠A，∠B，∠C的平分線，求證：AX，BY，CZ交于一點．
  組卷：78引用：1難度：0.9

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• 7．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，有一個圓內(nèi)切于△ABC的外接圓，且與AB、AC分別相切于P、Q，求證：線段PQ的中點O是△ABC的內(nèi)心．
  組卷：258引用：1難度：0.5

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• 8．如圖所示，I為△ABC的內(nèi)心，求證：△BIC的外心O與A、B、C四點共圓．
  組卷：305引用：1難度：0.9

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• 9．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，順次取△ABD，△ABC，△CDB、△CDA的內(nèi)心O₁，O₂，O₃，O₄．求證：四邊形O₁O₂O₃O₄是一個矩形．
  組卷：149引用：1難度：0.9

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• 10．△ABC中，I是內(nèi)心，過I作DE直線交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求證：DE=DB+EC．
  組卷：159引用：1難度：0.9

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• 11．已知：如圖，△ABC中，三邊上的高線分別是AX，BY，CZ，X，Y，Z為垂足，求證：AX，BY，CZ交于一點．
  組卷：70引用：1難度：0.9

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• 12．設H是等腰三角形ABC的垂心．在底邊BC保持不變的情況下，讓頂點A至底邊BC的距離變小，問這時乘積S_△ABC?S_△HBC的值變大？變?。窟€是不變？證明你的結論．
  組卷：135引用：2難度：0.5

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• 13．求證：銳角三角形的垂心H必為其垂足三角形的內(nèi)心．
  組卷：89引用：1難度：0.5

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• 14．如圖所示，已知△ABC的高AD、BE交于H，△ABC、△ABH的外接圓分別為⊙O和⊙O₁，求證：⊙O與⊙O₁的半徑相等．
  組卷：253引用：1難度：0.5

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• 15．設G為△ABC的重心，D，E分別為AB，AC邊的中點，如果S_△ABC=1，那么S_△GDE=

  ．
  組卷：54引用：1難度：0.7

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• 16．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分別是BC，AC，AB邊上的中線，求證：AX，BY，CZ相交于一點G，并且AG：GX=2：1．
  組卷：56引用：1難度：0.7

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• 17．已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG²=GC?GD．
  組卷：1128引用：2難度：0.1

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• 18．設G是等腰△ABC底邊上的高、AD與腰AC上的中線BE的交點．若AD=18，BE=15，則這個等腰三角形的面積為多少？
  組卷：43引用：1難度：0.5

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二、解答題（共54小題，滿分0分）

• 55．已知兩直線于交Q點，A，B，C是一直線上的三個點，L，M，N是另一直線上的三個點，且QA=AB=BC，LQ=QM=MN．求證：AL，BN，CM三線共點．
  組卷：107引用：1難度：0.1

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三、填空題（共1小題，每小題5分，滿分5分）

• 56．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分線相交于P點，又PE⊥AB于點E，若BC=2，AC=3，則AE?EB=

  ．
  組卷：264引用：5難度：0.5

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