2022-2023學(xué)年湖南省名校聯(lián)盟高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．已知集合A={x|x²-2x-3≤0，x∈Z}，

  B

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  1

  4

  -

  x

  2

  }

  ，則A∩B真子集的個數(shù)為（　?。?/h2>

  A．7

  B．8

  C．15

  D．16
  組卷：66引用：2難度：0.7

  解析

• 2．1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式e^ix=cosx+isinx（x∈R，i為虛數(shù)單位），這個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)此公式，化簡

  （

  e

  π

  4

  i

  ）

  2024

  +

  e

  π

  2

  i

  的結(jié)果為（　?。?/h2>

  A．2

  B．2i

  C．1+i

  D．1-i
  組卷：7引用：2難度：0.8

  解析

• 3．已知

  α

  ∈

  （

  π

  ，

  3

  π

  2

  ）

  ，且

  sin

  （

  α

  -

  π

  4

  ）

  =

  m

  （

  m

  ＞

  0

  ）

  ，則

  tan

  （

  α

  -

  π

  4

  ）

  =（　?。?/h2>

  A． m 1 - m 2

  B． - m 1 - m 2

  C． 1 - m 2 m

  D． - 1 - m 2 m
  組卷：88引用：2難度：0.7

  解析

• 4．已知向量

  a

  、

  b

  滿足

  |

  a

  +

  b

  |

  =

  |

  a

  -

  2

  b

  |

  ，

  |

  b

  |

  =

  1

  ，則

  |

  a

  |

  cos

  ?

  a

  ，

  b

  ?

  =（　?。?/h2>

  A．-2

  B．2

  C． 3 2

  D． 1 2
  組卷：24引用：2難度：0.7

  解析

• 5．“五一”假期期間，某旅游景區(qū)為加強游客的安全工作，決定增派甲、乙、丙、丁四位工作人員到A、B、C三個景點進行安全防護宣傳，增派的每位工作人員必須到一個景點，且只能到一個景點做安全防護宣傳，每個景點至少增派一位工作人員．因工作需要，乙不能去A景點，甲和乙不能同去一個景點，則不同的安排方法數(shù)為（　?。?/h2>

  A．20

  B．30

  C．42

  D．60
  組卷：32引用：2難度：0.8

  解析

• 6．已知圓O：x²+y²=1，點P在直線l：

  x

  -

  y

  -

  2

  2

  =

  0

  上運動，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，當(dāng)∠APB最大時，記劣弧

  ?

  AB

  及PA，PB所圍成的平面圖形的面積為S，則（　?。?/h2>

  A．2＜S＜3

  B．1＜S≤2

  C．1＜S≤3

  D．0＜S＜1
  組卷：93引用：2難度：0.4

  解析

• 7．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列{a_n}本身不是等差數(shù)列，但從{a_n}數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列{b_n}（則稱數(shù)列{a_n}為一階等差數(shù)列），或者{b_n}仍舊不是等差數(shù)列，但從{b_n}數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列{c_n}（則稱數(shù)列{a_n}為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列{a_n}：1，1，3，27，729…是一階等比數(shù)列，則

  10

  ∑

  n

  =

  1

  lo

  g

  3

  a

  n

  的值為（參考公式：

  1

  2

  +

  2

  2

  +

  …

  n

  2

  =

  n

  6

  （

  n

  +

  1

  ）

  （

  2

  n

  +

  1

  ）

  ）（　?。?/h2>

  A．60

  B．120

  C．240

  D．480
  組卷：79引用：2難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點M（m,1）到焦點的距離為2．
  （1）求拋物線C的方程；
  （2）過點（-1，0）的直線交拋物線C于A，B兩點，點Q（0，-2），連接QA交拋物線C于另一點E，連接QB交拋物線C于另一點F，且△QAB與△QEF的面積之比為1：3，求直線AB的方程．
  組卷：82引用：3難度：0.2

  解析

• 22．已知函數(shù)f（x）=ae^x-x²+3（a∈R）．
  （1）若方程f（x）=0有3個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
  （2）若φ（x）=-x²+2x+4-f（x）有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），求證：

  0

  ＜

  a

  ＜

  2

  e

  e

  ，且

  2

  x

  2

  +

  1

  2

  x

  1

  +

  1

  ＜

  e

  x

  2

  -

  e

  -

  x

  1

  x

  2

  +

  x

  1

  ．
  組卷：38引用：2難度：0.2

  解析