2023-2024學年上海市徐匯區(qū)位育中學高三（上）期中數(shù)學試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果.

• 1．已知集合A={x||x|≤1}，B={-2，1，3，5}，則A∩B=

  ．
  組卷：15引用：2難度：0.9

  解析

• 2．復數(shù)

  z

  =

  1

  -

  2

  i

  3

  +

  i

  的模為

  ．
  組卷：127引用：4難度：0.8

  解析

• 3．如果sinα=-

  2

  2

  3

  ，α為第三象限角，則sin（

  3

  π

  2

  +α）=

  ．
  組卷：453引用：8難度：0.9

  解析

• 4．已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點

  （

  1

  2

  ，

  8

  ）

  ，則f（-2）=

  ．
  組卷：810引用：39難度：0.9

  解析

• 5．若定義在R上的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，設F（x）=af（x）-1，且F（1）=3，則F（-1）的值為

  ．
  組卷：189引用：5難度：0.8

  解析

• 6．如圖，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA₁的中點，設三棱錐F-ADE的體積為V₁，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的體積為V₂，則V₁：V₂=

  ．
  組卷：1972引用：58難度：0.7

  解析

• 7．設

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  x

  -

  lgx

  ，則不等式

  f

  （

  1

  x

  -

  1

  ）

  ＜

  1

  的解集為

  ．
  組卷：201引用：5難度：0.8

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟

• 20．已知雙曲線

  C

  ：

  x

  2

  -

  y

  2

  3

  =

  1

  ，直線l交雙曲線于A，B兩點．
  （1）求雙曲線C的虛軸長與離心率；
  （2）若l過原點，P為雙曲線上異于A，B的一點，且直線PA、PB的斜率k_PA、k_PB均存在，求證：k_PA?k_PB為定值：
  （3）若l過雙曲線的右焦點F₂，是否存在x軸上的點M（m,0），使得直線l繞點F₂無論怎么轉動，都有

  MA

  ?

  MB

  =

  0

  成立？若存在，求出M的坐標：若不存在．請說明理由．
  組卷：105引用：2難度：0.5

  解析

• 21．若定義域為R的函數(shù)y=f（x）滿足y=f'（x）是R上的嚴格增函數(shù)，則稱y=f（x）是一個“T函數(shù)”．
  （1）分別判斷f₁（x）=e^x，f₂（x）=x³是否為T函數(shù)，并說明理由；
  （2）設a∈R，若函數(shù)y=g（x）是T函數(shù)，判斷g（a+1）+g（a+2）和g（a）+g（a+3）的大小關系，并證明；
  （3）已知函數(shù)y=F（x）是T函數(shù)，過（x₀，y₀）可以作函數(shù)y=F（x）的兩條切線，證明：y₀＜F（x₀）
  組卷：78引用：4難度：0.3

  解析