數(shù)學(xué)中，常對同一個(gè)量用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．
[探究一]：
如圖1，在邊長為a的正方形紙片上剪去一個(gè)邊長為b（b＜a）的正方形，你能表示圖中陰影部分的面積嗎？陰影部分的面積是 a2-b2a2-b2．
如圖2，也可以把陰影部分沿著虛線AB剪開，分成兩個(gè)梯形，陰影部分的面積是 （a+b）（a-b）（a+b）（a-b）．
用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)陰影部分的面積，可以得到等式 a2-b2=（a+b）（a-b）a2-b2=（a+b）（a-b）．
[探究二]：
如圖3，一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，請你數(shù)一數(shù)共有多少條線段呢？
方法1：一路往右數(shù)，不回頭數(shù)．
以A1為端點(diǎn)的線段有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、…、A1An，共有（n-1）條；
以A2為端點(diǎn)的線段有A2A3、A2A4、A2A5、…、A2An，共有（n-2）條；
以A3為端點(diǎn)的線段有A3A4、A3A5、…、A3An，共有（n-3）條；
…
以An-1為端點(diǎn)的線段有An-1An，共有1條；圖中線段的總條數(shù)是 （n-1）+（n-2）+（n-3）+...+3+2+1（n-1）+（n-2）+（n-3）+...+3+2+1．
方法2：每一個(gè)點(diǎn)都能和除它以外的（n-1）個(gè)點(diǎn)形成線段，共有n個(gè)點(diǎn)，共可形成n（n-1）條線段，但所有線段都數(shù)了兩遍，所以線段的總條數(shù)是 n（n-1）2n（n-1）2．
用兩種不同的方法數(shù)線段，可以得到等式 （n-1）+（n-2）+（n-3）+?+3+2+1=n（n-1）2（n-1）+（n-2）+（n-3）+?+3+2+1=n（n-1）2．
[應(yīng)用]運(yùn)用探究一、探究二中得到的等式解決問題．
計(jì)算：992-982+972-962+952-942+…+32-22+12．
n
（
n
-
1
）
2
n
（
n
-
1
）
2
（
n
-
1
）
+
（
n
-
2
）
+
（
n
-
3
）
+
?
+
3
+
2
+
1
=
n
（
n
-
1
）
2
（
n
-
1
）
+
（
n
-
2
）
+
（
n
-
3
）
+
?
+
3
+
2
+
1
=
n
（
n
-
1
）
2
【考點(diǎn)】平方差公式的幾何背景；列代數(shù)式．
【答案】a2-b2；（a+b）（a-b）；a2-b2=（a+b）（a-b）；（n-1）+（n-2）+（n-3）+...+3+2+1；；
n
（
n
-
1
）
2
（
n
-
1
）
+
（
n
-
2
）
+
（
n
-
3
）
+
?
+
3
+
2
+
1
=
n
（
n
-
1
）
2
【解答】
【點(diǎn)評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：157引用：1難度：0.5
相似題
-
1．數(shù)學(xué)中的許多規(guī)律不僅可以通過數(shù)的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，也可以通過圖形的面積發(fā)現(xiàn)．
【數(shù)的角度】
（1）填表：
【形的角度】a b a+b a-b a2-b2 2 1 3 1 3 3 -2 1 5 121356536
（2）如圖①，在邊長為a的正方形紙片上剪去一個(gè)邊長為b（b＜a）的小正方形，怎樣計(jì)算圖中陰影部分的面積？小明和小紅分別用不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積．小明的方法：若陰影部分看成大正方形與小正方形的面積差，則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為 ；小紅的方法：若沿圖①中的虛線將陰影部分剪開拼成新的長方形（圖②），則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為 ．
【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】
（3）猜想：a+b、a-b、a2-b2這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系是 ．
【運(yùn)用規(guī)律】
（4）運(yùn)用上述規(guī)律計(jì)算：502-492+482-472+462-452…+22-1．發(fā)布：2025/6/12 2:30:1組卷：126引用：3難度：0.6 -
2．乘法公式的探究與應(yīng)用：
（1）如圖甲，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，請你寫出陰影部分面積是（寫成兩數(shù)平方差的形式）
（2）小穎將陰影部分裁下來，重新拼成一個(gè)長方形，如圖乙，則長方形的長是，寬是，面積是（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）．
（3）比較甲乙兩圖陰影部分的面積，可以得到公式（用式子表達(dá)）
（4）運(yùn)用你所得到的公式計(jì)算：10.3×9.7．發(fā)布：2025/6/13 9:0:1組卷：1835引用：8難度：0.3 -
3．如圖，陰影部分是邊長為a的大正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，形成新的圖形，根據(jù)這兩個(gè)圖形的面積關(guān)系，下列式子正確的是（ ?。?/h2>發(fā)布：2025/6/12 22:30:1組卷：513引用：8難度：0.8