已知圓C的圓心C在x軸的正半軸上，半徑為2，且被直線3x-4y-4=0截得的弦長(zhǎng)為23．
（1）求圓C的方程：
（2）設(shè)P是直線x+y+5=0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線PA，切點(diǎn)為A，證明：經(jīng)過A，P，C三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．
3
【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用．
【答案】（1）（x-3）2+y2=4；
（2）由（1）知，C（3，0），
設(shè)P（m，-m-5），
∵PA為切線，
∴PA⊥AC，
∴過A，P，C的圓是以PC為直徑的圓，
設(shè)圓上任意一點(diǎn)M（x，y），
則，
∴（x-m，y+m+5）?（x-3，y）=0，
得（x-m）（x-3）+y（y+m+5）=0，
可得x2+y2-3x+5y-m（x-y-3）=0，
由
解得
或
，
故經(jīng)過A，P，C三點(diǎn)的圓所過定點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）和（-1，-4）．
（2）由（1）知，C（3，0），
設(shè)P（m，-m-5），
∵PA為切線，
∴PA⊥AC，
∴過A，P，C的圓是以PC為直徑的圓，
設(shè)圓上任意一點(diǎn)M（x，y），
則
PM
?
CM
=
0
∴（x-m，y+m+5）?（x-3，y）=0，
得（x-m）（x-3）+y（y+m+5）=0，
可得x2+y2-3x+5y-m（x-y-3）=0，
由
x 2 + y 2 - 3 x + 5 y = 0 |
x - y - 3 = 0 |
解得
x = 3 |
y = 0 |
x = - 1 |
y = - 4 |
故經(jīng)過A，P，C三點(diǎn)的圓所過定點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）和（-1，-4）．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：378引用：3難度：0.5
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