如圖1，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=8，AD平分∠BAC交BC于點D，點E、F分別是線段AC、AB上兩點，且AE=AF，連接BE交AD于點Q，過點F作FG⊥BE交BE于點P，交BC于點G．
（1）若BF=2，求DQ的長；
（2）求證：2AC-2AQ=BG；
（3）如圖2，AE=4，連接EF，將△EAF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點M為EF中點，連接BM，CM，以BM為直角邊構(gòu)造等腰Rt△BMN，過點N作NR⊥BC交BC于點R，連接RM，當NR最小時，直接寫出MR的長度．
2
AC
-
2
AQ
=
BG
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】（1）DQ=；（2）證明見解答過程；（3）當NR最小時，MR的長度為2．
4
2
7
10
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/10/24 0:0:2組卷：645引用：3難度：0.3
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1．（1）問題再現(xiàn)：學習二次根式時，老師給同學們提出了一個求代數(shù)式最小值的問題，如，“求代數(shù)式的最小值”：小強同學發(fā)現(xiàn)x2+4+（12-x）2+9可看作兩直角邊分別為x和2的直角三角形斜邊長，x2+4可看作兩直角邊分別是12-x和3的直角三角形的斜邊長．于是構(gòu)造出如圖，將問題轉(zhuǎn)化為求線段AB的長，進而求得（12-x）2+9的最小值是 ．x2+4+（12-x）2+9
（2）類比遷移：已知a,b均為正數(shù)，且a-b=4．求的最大值．a2+4-b2+1
（3）方法應(yīng)用：已知a,b均為正數(shù)，且是三角形的三邊長，求這個三角形的面積（用含a,b的代數(shù)式表示）．4a2+b2，9a2+b2，a2+4b2發(fā)布：2025/6/12 12:0:1組卷：724引用：3難度：0.2 -
2．如圖，在等邊△ABC中，點D為BC的中點，點E為AD上一點，連EB、EC，將線段EB繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至EF，使點F落在BA的延長線上．
（1）在圖1中畫出圖形：
①求∠CEF的度數(shù)；
②探究線段AB，AE，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）如圖2，若AB=4，點G為AC的中點，連DG，將△CDG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CMN，直線BM、AN交于點P，連CP，在△CDG旋轉(zhuǎn)一周過程中，請直接寫出△BCP的面積最大值為．
發(fā)布：2025/6/12 13:0:2組卷：418引用：3難度：0.1 -
3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，O是邊AC的中點，動點P從點C出發(fā)以每秒1個單位的速度沿折線CB-BA向終點A運動（不與△ABC頂點重合），點P在運動的過程中，線段PO將△ABC分成兩部分，將所得三角形部分沿OP折疊得到△PEO，設(shè)△PEO與△ABC重疊部分面積為S，點P運動時間是t（秒）．
（1）用含t的代數(shù)式表示PE；
（2）當點E落到AB邊上時，求t值；
（3）當點P在BC邊上且OE所在直線把△ABC面積分成1：3兩部分時，求S的值；
（4）當點P在AB邊上且PE所在直線與AC邊所夾銳角等于∠B時，直接寫出此時t的值．發(fā)布：2025/6/12 16:0:1組卷：47引用：1難度：0.2
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