綜合與實踐
問題情境：數學活動課上，老師組織同學們以“矩形”為主題開展數學活動．
已知矩形ABCD（AD＞AB）的一條對稱軸分別交邊AB、CD于點E、F，如圖①，奮進小組進行了如下的操作：以點B為圓心，BA的長為半徑作弧，交邊BC于點Q，已知點A'在弧AQ上運動（含A、Q兩點），連接BA′，再分別以點A、A'為圓心，大于12AA′的長為半徑作弧，兩弧相交于點G，作射線BG交AD于點H．
提出問題：
（1）如圖②，當點A'運動到EF上時，求∠ABH的度數；
拓展應用：
（2）如圖③，勤奮小組在圖②的基礎上進行如下操作：連接HA'并延長交BC于點P，請判斷△HBP的形狀，并說明理由；
解決問題：
（3）創(chuàng)新小組在圖③的基礎上進行如下操作：延長BA'交邊AD于點M，當△MPC是直角三角形時，請直接寫出矩形的邊BC和AB之間的數量關系．
1
2
AA
′
【考點】圓的綜合題．
【答案】（1）30°；（2）△HBP是等邊三角形；理由見解析；（3）BC=AB或BC=2AB．
3
3
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2025/6/10 17:30:1組卷：561難度：0.3
相似題
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1．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點E，AB=10，CD=6，點P是CD延長線上異于點D的一個動點，連結AP交⊙O于點Q，連結CQ交AB于點F，則點F的位置隨著點P位置的改變而改變．
（1）如圖1，當DP=4時，求tan∠P的值；
（2）如圖2，連結AC，DQ，在點P運動過程中，設DP=x,．S△QACS△QDC=y
①求證：∠ACQ=∠CPA；
②求y與x之間的函數關系式．發(fā)布：2025/6/13 1:0:1組卷：2067引用：6難度：0.3 -
2．如圖，AB為⊙O直徑，點C為⊙O上任意一點，連接OC，過點A作OC的平行線，交⊙O于點D，連接CD．
（1）如圖1，求證：CO平分∠BCD；
（2）如圖2，點F在線段DO的延長線上，連接AF交CD于E，若AE=EF，求證：DA=DF；
（3）如圖3，在（2）條件下，延長AF交線段BC于點G，若CD=12，BG=4，求AF的長．發(fā)布：2025/6/13 1:30:1組卷：79難度：0.2 -
3．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC平分∠BCD．
（1）如圖1，求證：AB=AD；
（2）如圖2，點E在弧AD上，弧CE=弧BC，延長CD、AE交于點F，求證：AF=AD．
（3）在（2）的條件下，如圖3，連接ED并延長ED交AC延長線于點P，連接PF，若PF=AF=4，PE=10，求⊙O的半徑．5
發(fā)布：2025/6/13 2:0:4組卷：103引用：1難度：0.3