設A為非空集合，令A×A={（x,y）|x,y∈A}，則A×A的任意子集R都叫做從A到A的一個關系（Relation），簡稱A上的關系．
例如A={0，1，2}時，R₁={（0，2）}，R₂=A×A，R₃=?，R₄={（0，0），（2，1）}等都是A上的關系．
設R為非空集合A上的關系．給出如下定義：
①（自反性）若?x∈A，有（x,x）∈R，則稱R在A上是自反的；
②（對稱性）若?（x,y）∈R，有（y,x）∈R，則稱R在A．上是對稱的；
③（傳遞性）若?（x,y），（y,z）∈R，有（x,z）∈R，則稱R在A．上是傳遞的；
如果R同時滿足這3條性質，則稱R為A上的等價關系．
（Ⅰ）已知A={0，1，2}，按要求填空：
（?。┯昧信e法寫出A×A=

{（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）}

{（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）}

；
（ⅱ）A上的關系有

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個（用數值作答）；
（ⅲ）用列舉法寫出A上的所有等價關系：{（0，0），（1，1），（2，2）}，{（0，0），（1，1），（2，2），（0，1），（1，0）}，{（0，0），（1，1），（2，2），（0，2），（2，0）}，

{（0，0），（1，1），（2，2），（1，2），（2，1）}

{（0，0），（1，1），（2，2），（1，2），（2，1）}

，

{（0，0），（1，1），（2，2），（1，2），（2，1），（0，2），（2，0），（0，1），（1，0）}

{（0，0），（1，1），（2，2），（1，2），（2，1），（0，2），（2，0），（0，1），（1，0）}

共5個．
（Ⅱ）設R₁，和R₂是某個非空集合A上的關系，證明：
（?。┤鬜₁，R₂是自反的和對稱的，則R₁∪R₂也是自反的和對稱的：
（ⅱ）若R₁，R₁是傳遞的，則R₁∩R₂也是傳遞的．
（Ⅲ）若給定的集合A有n個元素（n≥4）A₁，A₂，?A_m（2≤m≤n）為A的非空子集，滿足A₁∪A₂∪?∪A_m=A且兩兩交集為空集．
求證：R=（A₁×A₁）∪（A₂×A₂）∪?∪（A_m×A_m）為A上的等價關系．