設A為非空集合,令A×A={(x,y)|x,y∈A},則A×A的任意子集R都叫做從A到A的一個關系(Relation),簡稱A上的關系.
例如A={0,1,2}時,R1={(0,2)},R2=A×A,R3=?,R4={(0,0),(2,1)}等都是A上的關系.
設R為非空集合A上的關系.給出如下定義:
①(自反性)若?x∈A,有(x,x)∈R,則稱R在A上是自反的;
②(對稱性)若?(x,y)∈R,有(y,x)∈R,則稱R在A.上是對稱的;
③(傳遞性)若?(x,y),(y,z)∈R,有(x,z)∈R,則稱R在A.上是傳遞的;
如果R同時滿足這3條性質,則稱R為A上的等價關系.
(Ⅰ)已知A={0,1,2},按要求填空:
(?。┯昧信e法寫出A×A=
{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}
{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}
;
(ⅱ)A上的關系有 512
512
個(用數值作答);
(ⅲ)用列舉法寫出A上的所有等價關系:{(0,0),(1,1),(2,2)},{(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(1,0)},{(0,0),(1,1),(2,2),(0,2),(2,0)},
{(0,0),(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}
{(0,0),(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}
,{(0,0),(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(0,2),(2,0),(0,1),(1,0)}
{(0,0),(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(0,2),(2,0),(0,1),(1,0)}
共5個.
(Ⅱ)設R1,和R2是某個非空集合A上的關系,證明:
(?。┤鬜1,R2是自反的和對稱的,則R1∪R2也是自反的和對稱的:
(ⅱ)若R1,R1是傳遞的,則R1∩R2也是傳遞的.
(Ⅲ)若給定的集合A有n個元素(n≥4)A1,A2,?Am(2≤m≤n)為A的非空子集,滿足A1∪A2∪?∪Am=A且兩兩交集為空集.
求證:R=(A1×A1)∪(A2×A2)∪?∪(Am×Am)為A上的等價關系.