如果兩個(gè)橢圓的離心率相等，那么就稱(chēng)這兩個(gè)橢圓相似．已知橢圓C與橢圓Γ：x28+y24=1相似，且橢圓C的一個(gè)短軸端點(diǎn)是拋物線(xiàn)y=14x2的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）試求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸在坐標(biāo)軸上，直線(xiàn)l：y=kx+t（k≠0，t≠0）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且與橢圓E交于H，K兩點(diǎn)．若線(xiàn)段AB與線(xiàn)段HK的中點(diǎn)重合，試判斷橢圓C與橢圓E是否為相似橢圓？并證明你的判斷．
Γ
：
x
2
8
+
y
2
4
=
1
y
=
1
4
x
2
【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ）是，證明：解法一：橢圓C與橢圓E是相似橢圓，
聯(lián)立橢圓C和直線(xiàn)l的方程，
，消去y，得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-8=0，
設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則．
設(shè)橢圓E的方程為，
聯(lián)立方程組
，消去y，得（n2+m2k2）x2+2ktm2x+m2（t2-n2）=0，
設(shè)H，K的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，則，
∵弦AB的中點(diǎn)與弦HK的中點(diǎn)重合，
∴x1+x2=x3+x4，∴=，
∵k≠0，t≠0，∴化簡(jiǎn)得m2=2n2，
求得橢圓E的離心率，
∴橢圓C與橢圓E是相似橢圓．
解法二：設(shè)橢圓E的方程為，并設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），H（x3，y3），K（x4，y4），
∵A，B在橢圓C上，
∴且，兩式相減并恒等變形得，
由H，K在橢圓E上，仿前述方法可得，
∵弦AB的中點(diǎn)與弦HK的中點(diǎn)重合，∴m2=2n2，
求得橢圓E的離心率，
∴橢圓C與橢圓E是相似橢圓．
x
2
2
+
y
2
=
1
（Ⅱ）是，證明：解法一：橢圓C與橢圓E是相似橢圓，
聯(lián)立橢圓C和直線(xiàn)l的方程，
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
y = kx + t |
設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則
x
1
+
x
2
=
-
4
kt
1
+
2
k
2
設(shè)橢圓E的方程為
x
2
m
2
+
y
2
n
2
=
1
（
m
＞
0
，
n
＞
0
，
m
≠
n
）
聯(lián)立方程組
x 2 m 2 + y 2 n 2 = 1 |
y = kx + t |
設(shè)H，K的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，則
x
3
+
x
4
=
-
2
kt
m
2
n
2
+
m
2
k
2
∵弦AB的中點(diǎn)與弦HK的中點(diǎn)重合，
∴x1+x2=x3+x4，∴
-
4
kt
1
+
2
k
2
-
2
kt
m
2
n
2
+
m
2
k
2
∵k≠0，t≠0，∴化簡(jiǎn)得m2=2n2，
求得橢圓E的離心率
e
=
m
2
-
n
2
m
=
n
2
n
=
2
2
∴橢圓C與橢圓E是相似橢圓．
解法二：設(shè)橢圓E的方程為
x
2
m
2
+
y
2
n
2
=
1
（
m
＞
0
，
n
＞
0
，
m
≠
n
）
∵A，B在橢圓C上，
∴
x
1
2
+
2
y
1
2
=
2
x
2
2
+
2
y
2
2
=
2
k
=
-
2
×
x
1
+
x
2
y
1
+
y
2
由H，K在橢圓E上，仿前述方法可得
k
=
-
m
2
n
2
x
3
+
x
4
y
3
+
y
4
∵弦AB的中點(diǎn)與弦HK的中點(diǎn)重合，∴m2=2n2，
求得橢圓E的離心率
e
=
m
2
-
n
2
m
=
n
2
n
=
2
2
∴橢圓C與橢圓E是相似橢圓．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：22引用：4難度：0.3
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)的離心率e；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線(xiàn)E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線(xiàn)l與（2）中雙曲線(xiàn)E相交于不同于雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線(xiàn)C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）過(guò)F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：103引用：1難度：0.9 -
3．若過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線(xiàn)有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7