綜合與實(shí)踐
旋轉(zhuǎn)是初中學(xué)習(xí)的一種全等變換，通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以將已知條件中“分散”的條件相對(duì)地“集中”在一起，構(gòu)成新的聯(lián)系，從而解決問(wèn)題．同時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)圖形中出現(xiàn)“有公共端點(diǎn)的線段相等”的條件，所以在等腰（或等邊）三角形、正方形中常進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換．
（1）正方形中的“旋轉(zhuǎn)”：如圖①，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是正方形的邊DC、BC上的點(diǎn)，連接AF、FE、AE，若∠EAF=45°，則BF、DE、EF之間的數(shù)量關(guān)系為 BF+DE=EFBF+DE=EF．
問(wèn)題解決：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，則點(diǎn)G點(diǎn)B、點(diǎn)F三點(diǎn) 共線共線，可證明△AEF≌△AGF△AGF，從而得出結(jié)論，請(qǐng)你完成上述全等關(guān)系的證明．
（2）如圖②，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PA=1，PB=2，PC=3，請(qǐng)你確定∠APB的度數(shù)：∠APB=135°135°．
小杰同學(xué)的思路是：設(shè)法將PA、PB、PC相對(duì)集中，于是將△BCP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90．得到△BAE，連接PE，確定ΔΡBE與△APE的形狀分別為：等腰直角三角形和直角三角形等腰直角三角形和直角三角形，問(wèn)題得以解決．
（3）等邊三角形中的“旋轉(zhuǎn)”：請(qǐng)你參考小杰同學(xué)的思路，解決下面問(wèn)題：
如圖③，P點(diǎn)是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，若∠APB=115°，∠APC=120°，請(qǐng)你直接寫(xiě)出：以線段PA、PB、PC的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的三角形的各內(nèi)角的度數(shù)分別為 60°，65°和55°60°，65°和55°．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】BF+DE=EF；共線；△AGF；135°；等腰直角三角形和直角三角形；60°，65°和55°
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：377引用：2難度：0.1
相似題
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1．已知△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如圖①，當(dāng)AD與邊BC相交，點(diǎn)D與點(diǎn)F在直線AC的兩側(cè)時(shí)，BD與CF的數(shù)量關(guān)系為．
（2）將圖①中的菱形ADEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），如圖②．
Ⅰ．判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②證明你的結(jié)論．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，當(dāng)△ACE為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng)度．發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：365引用：4難度：0.1 -
2．探究問(wèn)題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
證明：延長(zhǎng)CB到G，使BG=DE，連接AG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
變化：在圖①中，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫(xiě)出AM和AB的數(shù)量關(guān)系 ；
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想DF，BE，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．12
（3）問(wèn)題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想（不必說(shuō)明理由）．猜想：∠B與∠D滿足關(guān)系：．12發(fā)布：2025/6/24 19:0:1組卷：881引用：1難度：0.1 -
3．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是正方形ABCD外一點(diǎn)，連接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，試判斷△ECF的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時(shí)，求BE：BF的值．
（3）在（2）的條件下，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面積．7發(fā)布：2025/6/24 17:30:1組卷：59引用：1難度：0.5
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