已知橢圓C：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=1（a＞b＞0）過點

A

（

1

，

2

2

）

，且以F₁（-c,0），F(xiàn)₂（c,0）（c＞0）為焦點，橢圓C的離心率為

2

2

。
（1）求實數(shù)c的值；
（2）過左焦點F₁的直線l與橢圓C相交于B、D兩點，O為坐標原點，問橢圓C上是否存在點P，使線段BD和線段OP相互平分？若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由。