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已知菱形ABCD的邊長為1,∠ADC=60°,等邊△AEF兩邊分別交DC、CB于點E、F.
(1)特殊發(fā)現(xiàn):如圖1,若點E、F分別是邊DC、CB的中點,求證:菱形ABCD對角線AC、BD的交點O即為等邊△AEF的外心;
(2)若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動,記等邊△AEF的外心為P. ①猜想驗證:如圖2,猜想△AEF的外心P落在哪一直線上,并加以證明;②拓展運用:如圖3,當E、F分別是邊DC、CB的中點時,過點P任作一直線,分別交DA邊于點M,BC邊于點G,DC邊的延長線于點N,請你直接寫出
1
DM
+
1
DN
的值.

【考點】四邊形綜合題
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點評】
聲明:本試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有,未經(jīng)書面同意,不得復制發(fā)布。
發(fā)布:2025/6/23 21:30:2組卷:421引用:6難度:0.5
相似題
  • 1.探究問題:
    (1)方法感悟:
    如圖①,在正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別為DC,BC邊上的點,且滿足∠EAF=45°,連接EF,求證DE+BF=EF.
    感悟解題方法,并完成下列填空:
    證明:延長CB到G,使BG=DE,連接AG,
    ∵四邊形ABCD為正方形,
    ∴AB=AD,∠ABC=∠D=90°,
    ∴∠ABG=∠D=90°,
    ∴△ADE≌△ABG.
    ∴AG=AE,∠1=∠2;
    ∵四邊形ABCD為正方形,
    ∴∠BAD=90°,
    ∵∠EAF=45°,
    ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°.
    ∵∠1=∠2,
    ∴∠1+∠3=45°.
    即∠GAF=∠

    又AG=AE,AF=AF,
    ∴△GAF≌

    ∴FG=EF,
    ∵FG=FB+BG,
    又BG=DE,
    ∴DE+BF=EF.
    變化:在圖①中,過點A作AM⊥EF于點M,請直接寫出AM和AB的數(shù)量關系
    ;
    (2)方法遷移:

    如圖②,將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC,E,F(xiàn)分別是BC,CD邊上的點,∠EAF=
    1
    2
    ∠BAD,連接EF,過點A作AM⊥EF于點M,試猜想DF,BE,EF之間有何數(shù)量關系,并證明你的猜想.試猜想AM與AB之間的數(shù)量關系,并證明你的猜想.
    (3)問題拓展:
    如圖③,在四邊形ABCD中,AB=AD,E,F(xiàn)分別為DC,BC上的點,滿足∠EAF=
    1
    2
    ∠DAB,試猜想當∠B與∠D滿足什么關系時,可使得DE+BF=EF.請直接寫出你的猜想(不必說明理由).猜想:∠B與∠D滿足關系:

    發(fā)布:2025/6/24 19:0:1組卷:879引用:1難度:0.1
  • 2.如圖,邊長一定的正方形ABCD,Q為CD上一個動點,AQ交BD于點M,過M作MN⊥AQ交BC于點N,作NP⊥BD于點P,連接NQ,下列結論:①AM=MN;②MP=
    1
    2
    BD;③BN+DQ=NQ;④
    AB
    +
    BN
    BM
    為定值.其中一定成立的是

    發(fā)布:2025/6/24 15:0:1組卷:2074引用:8難度:0.5
  • 3.如圖,四邊形ABCD是正方形,E是正方形ABCD內(nèi)一點,F(xiàn)是正方形ABCD外一點,連接BE、CE、DE、BF、CF、EF.
    (1)若∠EDC=∠FBC,ED=FB,試判斷△ECF的形狀,并說明理由.
    (2)在(1)的條件下,當BE:CE=1:2,∠BEC=135°時,求BE:BF的值.
    (3)在(2)的條件下,若正方形ABCD的邊長為(3
    3
    +
    7
    )cm,∠EDC=30°,求△BCF的面積.

    發(fā)布:2025/6/24 17:30:1組卷:59引用:1難度:0.5
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