已知：橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），過點(diǎn)A（-a,0），B（0，b）的直線傾斜角為π6，原點(diǎn)到該直線的距離為32．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率大于零的直線過D（-1，0）與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若ED=2DF，求直線EF的方程；
（3）對(duì)于D（-1，0），是否存在實(shí)數(shù)k,直線y=kx+2交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且|DP|=|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
π
6
3
2
ED
=
2
DF
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（1）；
（2）x=y-1，即x-y+1=0．
（3）不存在．
記P（x1，y1），Q（x2，y2），將y=kx+2代入，
得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*），x1，x2是此方程的兩個(gè)相異實(shí)根．
設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，則，；
由|DP|=|DQ|，得DM⊥PQ，∴kDM===-，
整理得3k2-4k+1=0，解得k=1或；
但k=1，均使方程（*）沒有兩相異實(shí)根，∴滿足條件的k值不存在．
x
2
3
+
y
2
=
1
（2）x=y-1，即x-y+1=0．
（3）不存在．
記P（x1，y1），Q（x2，y2），將y=kx+2代入
x
2
3
+
y
2
=
1
得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*），x1，x2是此方程的兩個(gè)相異實(shí)根．
設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，則
x
M
=
x
1
+
x
2
2
=
-
6
k
3
k
2
+
1
y
M
=
k
x
M
+
2
=
2
3
k
2
+
1
由|DP|=|DQ|，得DM⊥PQ，∴kDM=
y
M
x
M
+
1
2
3
k
2
+
1
-
6
k
3
k
2
+
1
+
1
1
k
整理得3k2-4k+1=0，解得k=1或
k
=
1
3
但k=1，
k
=
1
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/9/9 5:0:8組卷：38引用：5難度：0.1
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：102引用：1難度：0.9 -
3．若過點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7