綜合與實踐
實踐情境：數(shù)學(xué)綜合與實踐課上，如圖①，老師發(fā)給每個小組一塊表面平整的矩形木板、一個內(nèi)角為的直角三角板（說明：僅能作30°，60°，90°的角）和一把無刻度的直尺（說明：僅能作直線）、四只木工筆、小刀、橡皮、手工鋸子．
?
實踐任務(wù)：僅利用提供的工具將木板三等分，使原木板的寬作為等分后木板的一邊．對核心任務(wù)進行數(shù)學(xué)抽象：如圖②，已知矩形ABCD，利用含30°的直角三角板和無刻度直尺，在AB上確定點P，使BP=13AB．
下表是各小組展示完成實踐任務(wù)的操作步驟：
1
3
| 組別 | 操作步驟 | 圖示 |
| A組 | 第一步：如圖③所示，分別以點D，點C為頂點，DA，CB為邊作30°的角與AB交于點E，F(xiàn)，連接DF，CE，交于點G，過點G作GM⊥A組AB于點M，并延長MG交CD于點N；第二步：如圖④所示，擦除線段DE，EC，DF，連接AC，BN交于點O，過點O作OP⊥AB于點P，并延長PO交CD于點Q． |
|
| B組 | 第一步：如圖⑤所示，分別以點C，點B為頂30°的角交于點E； 第二步：… |
|
（1）在圖③中，證明：點M為AB的中點；
（2）在圖④中，證明：
BP
=
1
3
AB
（3）B組某同學(xué)計劃先在BC上確定點F，使
BF
=
1
3
BC
BP
=
1
3
AB
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）（2）證明見解析部分；
（3）作圖，理由見解析部分．
（3）作圖，理由見解析部分．
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/5/22 8:0:8組卷：238引用：1難度：0.1
相似題
-
1．探究問題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
證明：延長CB到G，使BG=DE，連接AG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
變化：在圖①中，過點A作AM⊥EF于點M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系 ；
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點A作AM⊥EF于點M，試猜想DF，BE，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．12
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．猜想：∠B與∠D滿足關(guān)系：．12發(fā)布：2025/6/24 19:0:1組卷：881引用：1難度：0.1 -
2．已知△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如圖①，當(dāng)AD與邊BC相交，點D與點F在直線AC的兩側(cè)時，BD與CF的數(shù)量關(guān)系為．
（2）將圖①中的菱形ADEF繞點A旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），如圖②．
Ⅰ．判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②證明你的結(jié)論．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，當(dāng)△ACE為直角三角形時，直接寫出CE的長度．發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：365引用：4難度：0.1 -
3．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是正方形ABCD內(nèi)一點，F(xiàn)是正方形ABCD外一點，連接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，試判斷△ECF的形狀，并說明理由．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求BE：BF的值．
（3）在（2）的條件下，若正方形ABCD的邊長為（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面積．7發(fā)布：2025/6/24 17:30:1組卷：59引用：1難度：0.5