綜合與實(shí)踐
實(shí)踐情境：數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐課上，如圖①，老師發(fā)給每個(gè)小組一塊表面平整的矩形木板、一個(gè)內(nèi)角為的直角三角板（說明：僅能作30°，60°，90°的角）和一把無刻度的直尺（說明：僅能作直線）、四只木工筆、小刀、橡皮、手工鋸子．
?
實(shí)踐任務(wù)：僅利用提供的工具將木板三等分，使原木板的寬作為等分后木板的一邊．對(duì)核心任務(wù)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象：如圖②，已知矩形ABCD，利用含30°的直角三角板和無刻度直尺，在AB上確定點(diǎn)P，使BP=13AB．
下表是各小組展示完成實(shí)踐任務(wù)的操作步驟：
1
3
| 組別 | 操作步驟 | 圖示 |
| A組 | 第一步：如圖③所示，分別以點(diǎn)D，點(diǎn)C為頂點(diǎn)，DA，CB為邊作30°的角與AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DF，CE，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GM⊥A組AB于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)MG交CD于點(diǎn)N；第二步：如圖④所示，擦除線段DE，EC，DF，連接AC，BN交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OP⊥AB于點(diǎn)P，并延長(zhǎng)PO交CD于點(diǎn)Q． |
|
| B組 | 第一步：如圖⑤所示，分別以點(diǎn)C，點(diǎn)B為頂30°的角交于點(diǎn)E； 第二步：… |
|
（1）在圖③中，證明：點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)；
（2）在圖④中，證明：
BP
=
1
3
AB
（3）B組某同學(xué)計(jì)劃先在BC上確定點(diǎn)F，使
BF
=
1
3
BC
BP
=
1
3
AB
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）（2）證明見解析部分；
（3）作圖，理由見解析部分．
（3）作圖，理由見解析部分．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/5/22 8:0:8組卷：237引用：1難度：0.1
相似題
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1．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°．直接寫出BE、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，求證：EF=BE+DF；12
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)F，使得∠EAF=∠BAD，則結(jié)論EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．12
發(fā)布：2025/6/20 1:0:2組卷：1509引用：2難度：0.5 -
2．問題：如圖①，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．
【發(fā)現(xiàn)證明】將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD，請(qǐng)你利用圖①證明上述結(jié)論
【類比引申】
如圖②，四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+FD．
【探究應(yīng)用】
如圖③，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F，且AE⊥AD，DF=（40-40）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長(zhǎng)．3
發(fā)布：2025/6/20 1:30:2組卷：859引用：2難度：0.2 -
3．在正方形ABCD中，AB=4，O為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)．
（1）如圖1，延長(zhǎng)OC，使CE=OC，作正方形OEFG，使點(diǎn)G落在OD的延長(zhǎng)線上，連接DE、AG．求證：DE=AG；
（2）如圖2，將問題（1）中的正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜180°），得到正方形OE′F′G′，連接AE′、E′G′．
①當(dāng)α=30°時(shí)，求點(diǎn)A到E′G′的距離；
②在旋轉(zhuǎn)過程中，求△AE′G′面積的最小值，并求此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角α．
發(fā)布：2025/6/20 1:30:2組卷：540引用：3難度：0.2