【深度閱讀】蘇格蘭哲學家托馬斯?卡萊爾（1795-1881）曾給出了一元二次方程x2+bx+c=0的幾何解法：如圖1，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1），B（-b,c），以AB為直徑作⊙P．若⊙P交x軸于點M（m,0），N（n,0），則m,n為方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根．
【自主探究】（1）由勾股定理得，AM2=12+m2，BM2=c2+（-b-m）2，AB2=（1-c）2+b2，在Rt△ABM中，AM2+BM2=AB2，所以12+m2+c2+（-b-m）2=（1-c）2+b2．化簡得：m2+bm+c=0．同理可得：n2+bn+c=0n2+bn+c=0．
所以m,n為方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根．
【遷移運用】（2）在圖2中的x軸上畫出以方程x2-3x-2=0兩根為橫坐標的點M，N．
（3）已知點A（0，1），B（4，-3），以AB為直徑作⊙C．判斷⊙C與x軸的位置關系，并說明理由．
【拓展延伸】（4）在平面直角坐標系中，已知兩點A（0，a），B（-b,c），若以AB為直徑的圓與x軸有兩個交點M，N，則以點M，N的橫坐標為根的一元二次方程是 x2+bx+ac=0x2+bx+ac=0．
【考點】圓的綜合題．
【答案】n2+bn+c=0；x2+bx+ac=0
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/10/11 1:0:1組卷：126引用：2難度：0.4
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1．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過點C，AD⊥EF于點D，∠DAC=∠BAC．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：AC2=AD?AB；
（3）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積．發(fā)布：2024/12/23 9:0:2組卷：1798引用：34難度：0.7 -
2．如圖，矩形ABCD中，AB=13，AD=6．點E是CD上的動點，以AE為直徑的⊙O與AB交于點F，過點F作FG⊥BE于點G．
（1）當E是CD的中點時：tan∠EAB的值為；
（2）在（1）的條件下，證明：FG是⊙O的切線；
（3）試探究：BE能否與⊙O相切？若能，求出此時BE的長；若不能，請說明理由．發(fā)布：2024/12/23 12:0:2組卷：641引用：5難度：0.4 -
3．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，P是坐標系內任意一點，點P到⊙O的距離SP的定義如下：若點P與圓心O重合，則SP為⊙O的半徑長；若點P與圓心O不重合，作射線OP交⊙O于點A，則SP為線段AP的長度．
圖1為點P在⊙O外的情形示意圖．
（1）若點B（1，0），C（1，1），，則SB=D（0，13）；SC=；SD=；
（2）若直線y=x+b上存在點M，使得SM=2，求b的取值范圍；
（3）已知點P，Q在x軸上，R為線段PQ上任意一點．若線段PQ上存在一點T，滿足T在⊙O內且ST≥SR，直接寫出滿足條件的線段PQ長度的最大值．發(fā)布：2024/12/23 11:0:1組卷：618引用：11難度：0.1
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