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數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老,也是最基本的研究對(duì)象,它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái),通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.
(1)【思想應(yīng)用】已知m,n均為正實(shí)數(shù)、且m+n=2,求
m
2
+
1
+
n
2
+
4
的最小值.通過(guò)分析,小明想到了利用下面的構(gòu)造解決此問(wèn)題:如圖,AB=2,AC=1,BD=2,AC⊥AB,BD⊥AB,點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),且不與端點(diǎn)重合,連接CE,DE,設(shè)AE=m,BE=n.
①用含m的代數(shù)式表示CE=
m
2
+
1
m
2
+
1
,用含n的代數(shù)式表示DE=
n
2
+
4
n
2
+
4

②據(jù)此寫出
m
2
+
1
+
n
2
+
4
的最小值
13
13
;
(2)【類比應(yīng)用】根據(jù)上述的方法,代數(shù)式
x
2
+
25
+
x
-
16
2
+
49
的最小值是
20
20

(3)【拓展應(yīng)用】
①已知a,b,c為正數(shù),且a+b+c=1,試運(yùn)用構(gòu)圖法,畫出圖形,并寫出
a
2
+
b
2
+
b
2
+
c
2
+
c
2
+
a
2
的最小值;
②若a,b為正數(shù),寫出以
a
2
+
b
2
,
4
a
2
+
b
2
a
2
+
4
b
2
為邊的三角形的面積
3
2
ab
3
2
ab

【考點(diǎn)】三角形綜合題
【答案】
m
2
+
1
;
n
2
+
4
13
;20;
3
2
ab
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明:本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有,未經(jīng)書面同意,不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布:2024/7/26 8:0:9組卷:569引用:2難度:0.2
相似題
  • 1.先閱讀下面一段文字,再回答問(wèn)題:
    已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于任意兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)的“識(shí)別距離”,給出如下定義:若|x1-x2|>|y1-y2|,則點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)的“識(shí)別距離”為|x1-x2|;若|x1-x2|<|y1-y2|,則點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)的“識(shí)別距離”為|y1-y2|;
    (1)已知點(diǎn)A(-1,0),B為y軸上的動(dòng)點(diǎn).
    ①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“識(shí)別距離”為3,寫出滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo);
    ②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“識(shí)別距離”的最小值.
    (2)已知點(diǎn)
    C
    m
    ,
    3
    4
    m
    +
    3
    ,D(1,1),求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“識(shí)別距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo).

    發(fā)布:2025/6/6 1:30:1組卷:241引用:1難度:0.1
  • 2.將兩塊直角三角板(即兩個(gè)直角三角形,其中∠C=30°,∠CDO=60°;∠OAB=∠OBA=45°) 的直角頂點(diǎn)O按圖1方式疊放在一起,△COD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,旋轉(zhuǎn)的速度為每秒10°,若旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:

    (1)當(dāng)t=9時(shí),直線OD與OB的位置關(guān)系是
    ;當(dāng)0<t<9時(shí),(如圖2及其簡(jiǎn)化圖),∠BOC的度數(shù)為
    (用含t的代數(shù)式表示).

    (2)當(dāng)邊OB∥CD時(shí),t的值是

    (3)當(dāng)邊AB∥CD時(shí),求t的值.

    發(fā)布:2025/6/6 1:30:1組卷:109引用:1難度:0.2
  • 3.把兩個(gè)等腰直角△ABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放,∠A=90°,將△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),如圖2,連接BD,EC,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<360°).
    (1)求證:△BAD≌△CAE;
    (2)如圖3,若點(diǎn)D在線段BE上,且BC=13,DE=7,求CE的長(zhǎng);
    (3)當(dāng)△ABD的面積最大時(shí),請(qǐng)直接寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù).

    發(fā)布:2025/6/6 2:0:9組卷:460引用:3難度:0.1
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