數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化，數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的．
（1）【思想應用】已知m,n均為正實數(shù)、且m+n=2，求m2+1+n2+4的最小值．通過分析，小明想到了利用下面的構造解決此問題：如圖，AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，點E是線段AB上的動點，且不與端點重合，連接CE，DE，設AE=m,BE=n.
①用含m的代數(shù)式表示CE=m2+1m2+1，用含n的代數(shù)式表示DE=n2+4n2+4；
②據此寫出m2+1+n2+4的最小值 1313；
（2）【類比應用】根據上述的方法，代數(shù)式x2+25+（x-16）2+49的最小值是 2020；
（3）【拓展應用】
①已知a,b,c為正數(shù)，且a+b+c=1，試運用構圖法，畫出圖形，并寫出a2+b2+b2+c2+c2+a2的最小值；
②若a,b為正數(shù)，寫出以a2+b2，4a2+b2，a2+4b2為邊的三角形的面積 32ab32ab．
m
2
+
1
n
2
+
4
m
2
+
1
m
2
+
1
n
2
+
4
n
2
+
4
m
2
+
1
n
2
+
4
13
13
x
2
+
25
（
x
-
16
）
2
+
49
a
2
+
b
2
b
2
+
c
2
c
2
+
a
2
a
2
+
b
2
4
a
2
+
b
2
a
2
+
4
b
2
3
2
3
2
【考點】三角形綜合題．
【答案】；；；20；ab
m
2
+
1
n
2
+
4
13
3
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/26 8:0:9組卷：540引用：2難度：0.2
相似題
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1．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，連接EF．
（1）如圖1，求證：∠BED=∠AFD；
（2）如圖1，求證：BE2+CF2=EF2；
（3）如圖2，當∠ABC=45°，若BE=4，CF=3，求△DEF的面積．發(fā)布：2024/12/23 14:0:1組卷：184引用：3難度：0.2 -
2．已知A（0，4），B（-4，0），D（9，4），C（12，0），動點P從點A出發(fā)，在線段AD上，以每秒1個單位的速度向點D運動：動點Q從點C出發(fā)，在線段BC上，以每秒2個單位的速度向點B運動，點P、Q同時出發(fā)，當其中一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為t（秒）．
（1）當t=秒時，PQ平分線段BD；
（2）當t=秒時，PQ⊥x軸；
（3）當時，求t的值．∠PQC=12∠D發(fā)布：2024/12/23 15:0:1組卷：144引用：3難度：0.1 -
3．一副三角板如圖1擺放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，點F在BC上，點A在DF上，且AF平分∠CAB，現(xiàn)將三角板DFE繞點F順時針旋轉（當點D落在射線FB上時停止旋轉）．
（1）當∠AFD=°時，DF∥AC；當∠AFD=°時，DF⊥AB；
（2）在旋轉過程中，DF與AB的交點記為P，如圖2，若△AFP有兩個內角相等，求∠APD的度數(shù)；
（3）當邊DE與邊AB、BC分別交于點M、N時，如圖3，若∠AFM=2∠BMN，比較∠FMN與∠FNM的大小，并說明理由．
發(fā)布：2024/12/23 18:30:1組卷：1692引用：10難度：0.1