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數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老,也是最基本的研究對(duì)象,它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái),通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.
(1)【思想應(yīng)用】已知m,n均為正實(shí)數(shù)、且m+n=2,求
m
2
+
1
+
n
2
+
4
的最小值.通過(guò)分析,小明想到了利用下面的構(gòu)造解決此問(wèn)題:如圖,AB=2,AC=1,BD=2,AC⊥AB,BD⊥AB,點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),且不與端點(diǎn)重合,連接CE,DE,設(shè)AE=m,BE=n.
①用含m的代數(shù)式表示CE=
m
2
+
1
m
2
+
1
,用含n的代數(shù)式表示DE=
n
2
+
4
n
2
+
4

②據(jù)此寫(xiě)出
m
2
+
1
+
n
2
+
4
的最小值
13
13
;
(2)【類(lèi)比應(yīng)用】根據(jù)上述的方法,代數(shù)式
x
2
+
25
+
x
-
16
2
+
49
的最小值是
20
20

(3)【拓展應(yīng)用】
①已知a,b,c為正數(shù),且a+b+c=1,試運(yùn)用構(gòu)圖法,畫(huà)出圖形,并寫(xiě)出
a
2
+
b
2
+
b
2
+
c
2
+
c
2
+
a
2
的最小值;
②若a,b為正數(shù),寫(xiě)出以
a
2
+
b
2
4
a
2
+
b
2
,
a
2
+
4
b
2
為邊的三角形的面積
3
2
ab
3
2
ab

【考點(diǎn)】三角形綜合題
【答案】
m
2
+
1
;
n
2
+
4
13
;20;
3
2
ab
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明:本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有,未經(jīng)書(shū)面同意,不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布:2024/7/26 8:0:9組卷:573引用:2難度:0.2
相似題
  • 1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB交射線AC于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
    (1)線段AQ的長(zhǎng)為
    ,線段PQ的長(zhǎng)為
    .(用含t的代數(shù)式表示)
    (2)當(dāng)△APQ與△ABC的周長(zhǎng)的比為1:4時(shí),求t的值.
    (3)設(shè)△APQ與△ABC重疊部分圖形的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

    發(fā)布:2025/6/25 4:0:1組卷:19引用:1難度:0.3
  • 2.如圖,在△ABC中,BC=5,AD⊥BC,BE⊥AC,AD,BE相交于點(diǎn)O,BD:CD=2:3,且AE=BE.
    (1)求線段AO的長(zhǎng);
    (2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿線段OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng).P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí),P,Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,△AOQ的面積為S,請(qǐng)用含t的式子表示S,并直接寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍;
    (3)在(2)的條件下,點(diǎn)F是直線AC上的一點(diǎn),且CF=BO,是否存在t值,使以點(diǎn)B,O,P為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F,C,Q為頂點(diǎn)的三角形全等?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的t值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    發(fā)布:2025/6/25 5:0:1組卷:189引用:3難度:0.4
  • 3.已知等腰直角△ABC的直角邊AB=BC=10cm,點(diǎn)P,Q分別從A.C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),均以1cm/s的相同速度做直線運(yùn)動(dòng),已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng),Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng),PQ與直線AC相交于點(diǎn)D.設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,△PCQ的面積為S.
    (1)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
    (2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí),S△PCQ=
    1
    4
    S△ABC?
    (3)作PE⊥AC于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)P.Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DE的長(zhǎng)度是否改變?證明你的結(jié)論.

    發(fā)布:2025/6/23 23:0:10組卷:243引用:1難度:0.1
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