小明學(xué)習(xí)了平行四邊形后，對(duì)特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)了這樣一類特殊的四邊形：兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形，叫做垂美四邊形．
（1）【理解定義】在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中，一定是垂美四邊形的是 菱形、正方形菱形、正方形．
（2）【探究性質(zhì)】如圖1，在垂美四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，猜想AB2，BC2，CD2，AD2之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過(guò)程．
（3）【綜合運(yùn)用】如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，分別以BC，AB為腰向外側(cè)作等腰Rt△ABD和等腰Rt△CBE，且∠ABD=∠CBE=90°，連接DE．
①圖中哪個(gè)四邊形是垂美四邊形？并證明你的結(jié)論．
②求DE的長(zhǎng)（直接寫出答案）．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】菱形、正方形
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/6/4 14:0:1組卷：133引用：2難度：0.3
相似題
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1．已知四邊形ABCD與AEFG均為正方形．
數(shù)學(xué)思考：
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)G在AD邊上時(shí)，線段BE與DG的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ．
（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α，得到圖2，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
拓展探索：
（3）如圖3，若點(diǎn)D，E，G在同一直線上，且AB=2AE=2，則線段BE長(zhǎng)為 ．（直接寫出答案即可，不要求寫過(guò)程）．2發(fā)布：2025/6/6 10:0:1組卷：50引用：2難度：0.6 -
2．我們規(guī)定：有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為60°的凸四邊形叫做“半等邊四邊形”．
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B=120°，AD=CD，求證：四邊形ABCD是“半等邊四邊形”；
（2）如圖2，△ABC中∠A=45°，∠ABC=120°，AB=2
①求BC、AC的長(zhǎng)；
②設(shè)D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD是“半等邊四邊形”時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形ABCD的面積．
發(fā)布：2025/6/6 10:30:2組卷：197引用：3難度：0.1 -
3．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，且點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AD方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，在線段QC上取點(diǎn)E，使得QE=2，連接PE，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若PE⊥BC，交AC于點(diǎn)N，試證明△APN和△CEN為等腰直角三角形；
（2）在（1）的條件下，求BQ的長(zhǎng)；
（3）是否存在t的值，使以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．發(fā)布：2025/6/6 10:30:2組卷：262引用：3難度：0.1