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已知橢圓E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的焦距為2
3
,直線y=k(x-1)(k≠0)經(jīng)過E的長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn),且與E交于P,Q兩點(diǎn).
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)記線段PQ為直徑的圓為⊙M,判斷點(diǎn)A(2,0)與⊙M的位置關(guān)系,說明理由.

【答案】(Ⅰ)
x
2
4
+
y
2
=
1

(Ⅱ)點(diǎn)A在⊙M外.理由如下:
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
y
=
k
x
-
1
x
2
+
4
y
2
=
4
得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,
所以,Δ=(-8k22-4(1+4k2)(4k2-4)=48k2+16>0,
所以x1+x2=
8
k
2
1
+
4
k
2
,x1?x2=
4
k
2
-
4
1
+
4
k
2

因?yàn)?div dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math">
AP
=(x1-2,y1),
AQ
=(x2-2,y2),
所以
AP
?
AQ
=(x1-2)(x2-2)+y1?y2,
=(1+k2)x1?x2-(2+k2)(x1+x2)+4+k2
=
4
k
2
+
1
k
2
-
1
1
+
4
k
2
-
8
k
2
2
+
k
2
1
+
4
k
2
+4+k2,
=
k
2
1
+
4
k
2

因?yàn)閗≠0,
所以
AP
?
AQ
>0.
∴cos∠PAQ>0,
∴∠PAQ為銳角,
所以點(diǎn)A在⊙M外.
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布:2024/6/27 10:35:59組卷:54引用:3難度:0.5
相似題
  • 1.點(diǎn)P在以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
    E
    x
    2
    a
    2
    -
    y
    2
    b
    2
    =
    1
    (a>0,b>0)上,已知PF1⊥PF2,|PF1|=2|PF2|,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
    (Ⅰ)求雙曲線的離心率e;
    (Ⅱ)過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1,P2兩點(diǎn),且
    O
    P
    1
    ?
    O
    P
    2
    =
    -
    27
    4
    ,
    2
    P
    P
    1
    +
    P
    P
    2
    =
    0
    ,求雙曲線E的方程;
    (Ⅲ)若過點(diǎn)Q(m,0)(m為非零常數(shù))的直線l與(2)中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N,且
    MQ
    =
    λ
    QN
    (λ為非零常數(shù)),問在x軸上是否存在定點(diǎn)G,使
    F
    1
    F
    2
    GM
    -
    λ
    GN
    ?若存在,求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

    發(fā)布:2024/12/29 10:0:1組卷:72引用:5難度:0.7
  • 2.已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
    5

    (1)求曲線C的方程;
    (2)過F1(-3,0)引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),求△ABF2的面積.

    發(fā)布:2024/12/29 10:30:1組卷:102引用:1難度:0.9
  • 3.若過點(diǎn)(0,-1)的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn),則這樣的直線有(  )條.

    發(fā)布:2024/12/29 10:30:1組卷:26引用:5難度:0.7
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