定理：圖1，如果∠ADB=∠ACB，那么四邊形ABCD有外接圓，也叫做A，B，C，D四點(diǎn)共圓．（注：本定理不需要證明）
（1）圖2，△ABC中，AC=BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AC，BC上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），而且CE=BF，O是△ABC的外心（外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等），試證明C，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．（注：可以使用上述定理，也可以采用其他方法）
如果將問題2中的點(diǎn)C“分離”成兩個(gè)點(diǎn)，那么就有：
（2）圖3，在凸四邊形ABCD中，AD=BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AD，BC上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），而且DE=BF，直線AC，BD相交于點(diǎn)P，直線EF，BD相交于點(diǎn)Q，直線EF，AC相交于點(diǎn)R．當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AD，BC上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合）時(shí)，探究△PQR的外接圓是否經(jīng)過除點(diǎn)P外的另一個(gè)定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)給出證明，并指出是哪個(gè)定點(diǎn)；如果不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：355引用：1難度：0.5
相似題
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1．定義：如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，簡稱“四點(diǎn)共圓”．我們學(xué)過了“圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”這一定理，它的逆命題“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓”是證明“四點(diǎn)共圓”的一種常用方法．除此之外，我們還經(jīng)常用“同旁張角相等”來證明“四點(diǎn)共圓”．如圖1，在線段AB同側(cè)有兩點(diǎn)C，D．連接AD，AC，BC，BD，如果
，那么A，B，C，D“四點(diǎn)共圓”∠C=∠D
（1）如圖2，已知四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)E在CB的延長線上，下列條件：①∠1=∠2；②∠2=∠4：③∠5=：④PA?PC=PB?PD．其中，能判定A，B，C，D“四點(diǎn)共圓”的條件有 ：∠ADC
（2）如圖3，直線y=x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，若A，B，C，D“四點(diǎn)共圓”，且，求四邊形ABCD的面積；∠ADC=105°
（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，且BD＜CD，連結(jié)AD，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．
①求證：A，D，B，E“四點(diǎn)共圓”；
②若AB=2，AD?AF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值：若變化，請(qǐng)說明理由．2發(fā)布：2025/6/12 1:0:1組卷：705引用：3難度：0.3 -
2．綜合與實(shí)踐
“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．
提出問題：
如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠ABC=∠ADC，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
探究展示：求證：點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
如圖2，作經(jīng)過點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D=180°
．
（1）請(qǐng)完善探究展示．
（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，則∠4的度數(shù)為 ．
拓展探究：
（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AB，DE．
①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；
②若AB=2，AD?AF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由．2發(fā)布：2025/6/1 13:0:1組卷：767引用：2難度：0.3 -
3．設(shè)有邊長為1的正方形，試在這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形中找出面積最大的和一個(gè)面積最小的，并求出這兩個(gè)面積（須證明你的論斷）．
發(fā)布：2025/5/28 11:0:1組卷：126引用：1難度：0.7
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