【問題提出】
（1）如圖①，在△ABC中，∠B=60°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，連接CD，若∠ADC=120°，則CD與BC的數(shù)量關(guān)系是 CD=BCCD=BC；
【問題探究】
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，交CD的延長線于點(diǎn)G，DF平分∠ADC，交BC于點(diǎn)F，試判斷BG與DF的位置關(guān)系，并說明理由；
【問題解決】
（3）如圖③，某中學(xué)有一塊形如四邊形ABCD的綠地，經(jīng)測(cè)量，∠BCD=100°，∠ABC=2∠BAD，且sin∠BAD=32，為了更好地落實(shí)“雙減”政策，豐富孩子們的課業(yè)生活，學(xué)校計(jì)劃將這塊綠地改造成多功能區(qū)域，現(xiàn)要求在邊AD、CD上分別取點(diǎn)P、H，連接BP、AH，BP與AH交于點(diǎn)O，將四邊形DPOH區(qū)域設(shè)計(jì)成手工制作區(qū)，綠地的剩余部分設(shè)計(jì)成健身區(qū)．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，∠OPD=∠ABC，∠OHD=70°，且DP=AD-BP．設(shè)計(jì)師的設(shè)計(jì)過程如下：
①以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、AD于點(diǎn)E、F；
②分別以E、F為圓心，大于12EF長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G，連接AG并延長交CD于點(diǎn)H；
③以點(diǎn)B為圓心，大于點(diǎn)B到AH的距離為半徑畫弧，交AH于M、N兩點(diǎn)；
④分別以M、N為圓心，大于12MN長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)K，連接BK并延長，分別交AH、AD于點(diǎn)O、P，得到四邊形DPOH．
請(qǐng)問，若按上述作法，設(shè)計(jì)的四邊形DPOH是否符合要求？并說明理由．
sin
∠
BAD
=
3
2
1
2
EF
1
2
MN
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】CD=BC
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：140引用：2難度：0.2
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1．天府新區(qū)某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：
（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)，連接AP，以AP為邊作等邊△APQ，連接CQ．求證：BP=CQ；
（2）變式探究：如圖2，在等腰△ABC中，AB=BC，點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)，以AP為腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，連接CQ．判斷∠ABC和∠ACQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）解決問題：如圖3，在正方形ADBC中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，連接CQ．若正方形APEF的邊長為6，CQ=2，求正方形ADBC的邊長．2
發(fā)布：2025/6/13 22:0:1組卷：2504引用：13難度：0.2 -
2．如圖1，在直線l上找一點(diǎn)C，使AC+BC最短，并在圖中標(biāo)出點(diǎn)C．
【簡(jiǎn)單應(yīng)用】
（1）如圖2，在等邊△ABC中，AB=10，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，求EM+MC
的最小值，借助上面的模型，由等邊三角形的軸對(duì)稱性可知，B與C關(guān)于直線AD對(duì)稱，連接BM，
EM+MC的最小值就是線段 的長度，則EM+MC的最小值是 ；
（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAD=140°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M、N，
當(dāng)△AMN周長最小時(shí)，∠AMN+∠ANM=°．
【拓展應(yīng)用】
如圖4，是一個(gè)港灣，港灣兩岸有A、B兩個(gè)碼頭，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，現(xiàn)有一艘貨船從碼頭A出發(fā)，根據(jù)計(jì)劃，貨船應(yīng)先?？縊B岸C處裝貨，再?？縊A岸D處裝貨，最后到達(dá)碼頭B．怎樣安排兩岸的裝貨地點(diǎn)，使貨船行駛的水路最短？請(qǐng)畫出最短路線并求出最短路程．發(fā)布：2025/6/14 2:0:1組卷：166引用：1難度：0.1 -
3．如圖，將平行四邊形DBEC沿BD折疊，點(diǎn)C恰好落在EB的延長線上點(diǎn)A處，連接AC，BD交于點(diǎn)O，AC=6，BD=8．若直線AE上有一點(diǎn)F，當(dāng)△FCE為等腰三角形時(shí)，線段AF的長為 ．發(fā)布：2025/6/14 1:30:1組卷：199引用：1難度：0.1
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