已知F₁、F₂是雙曲線

C

：

x

2

-

y

2

15

=

1

的兩個(gè)焦點(diǎn)，若離心率等于

4

5

的橢圓E與雙曲線C的焦點(diǎn)相同．
（1）求橢圓E的方程；
（2）如果動(dòng)點(diǎn)P（m,n）滿足|PF₁|+|PF₂|=10，曲線M的方程為：

x

2

2

+

y

2

2

=

1

．判斷直線l：mx+ny=1與曲線M的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；當(dāng)直線l與曲線M相交時(shí)，求直線l：mx+ny=1截曲線M所得弦長的最大值．

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【答案】（1）；
（2）直線l：mx+ny=1與曲線M有兩個(gè)公共點(diǎn)．
理由是：
∵動(dòng)點(diǎn)P（m，n）滿足|PF₁|+|PF₂|=10，∴P（m，n）是橢圓E上的點(diǎn)，
∴，∴，0≤m²≤25
∵曲線M是圓心為（0，0），半徑為的圓
圓心（0，0）到直線l：mx+ny-1=0的距離=
∴直線l：mx+ny=1與曲線M有兩個(gè)公共點(diǎn)．
設(shè)直線l：mx+ny=1截曲線M所得弦長t，在0≤m²≤25上遞增
∴當(dāng)m²=25，m=±5，n=0，即時(shí)，t最大為．