已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)A(-2,0),B(2,0)連線的斜率之積為-34.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;
(2)過點(diǎn)F(1,0)的直線與曲線E交于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ與直線x=4分別交于M,N兩點(diǎn).求證:以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn).
3
4
【考點(diǎn)】軌跡方程.
【答案】(1)=1( x≠±2);
證明:(2)當(dāng)PQ的斜率存在時(shí),設(shè)PQ的方程為y=k(x-1),
與曲線E的方程聯(lián)立,消去y得(3+4k2)x2-8k2x-4k2-12=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=.
直線AP的方程為,
令x=4,得,即,同理.
∴-
=6||,
|x2-x1|==
=|.
∴|MN|=.
線段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()=)=-.
故以MN為直徑的圓的方程為:(x-4)2+=.
令y=0得:(x-4)2=9,解得x=1或x=7.
此時(shí)以MN為直徑的圓過點(diǎn)D(1,0)和E(7,0).
當(dāng)PQ⊥x軸時(shí),.
則以MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+y2=9,也過點(diǎn)D,E.
∴以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)D(1,0)和E(7,0).
x
2
4
+
y
2
3
證明:(2)當(dāng)PQ的斜率存在時(shí),設(shè)PQ的方程為y=k(x-1),
與曲線E的方程聯(lián)立,消去y得(3+4k2)x2-8k2x-4k2-12=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=
8
k
2
3
+
4
k
2
,
x
1
x
2
=
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
直線AP的方程為
y
y
1
=
x
+
2
x
1
+
2
令x=4,得
y
=
6
y
1
x
1
+
2
M
(
4
,
6
y
1
x
1
+
2
)
N
(
4
,
6
y
2
x
2
+
2
)
∴
|
MN
|
=
6
y
2
x
2
+
2
6
y
1
x
1
+
2
=6|
k
[
(
x
2
-
1
)
(
x
1
+
2
)
-
(
x
1
-
1
)
(
x
2
+
2
)
]
x
1
x
2
+
2
(
x
1
+
x
2
)
+
4
|
=
18
|
k
(
x
2
-
x
1
)
x
1
x
2
+
2
(
x
1
+
x
2
)
+
4
|x2-x1|=
(
x
1
+
x
2
)
2
-
4
x
1
x
2
64
k
2
(
3
+
4
k
2
)
2
-
4
×
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
=
12
1
+
k
2
3
+
4
k
2
x
1
x
2
+
2
(
x
1
+
x
2
)
+
4
|
=
|
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
+
2
×
8
k
2
3
+
4
k
2
+
4
|
=
36
k
2
3
+
4
k
2
∴|MN|=
6
1
+
k
2
|
k
|
線段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
1
2
6
y
1
x
1
+
2
+
6
y
2
x
2
+
2
3
k
?
(
x
1
-
1
x
1
+
2
+
x
2
-
1
x
2
+
2
3
k
故以MN為直徑的圓的方程為:(x-4)2+
(
y
+
3
k
)
2
9
(
1
+
k
2
)
k
2
令y=0得:(x-4)2=9,解得x=1或x=7.
此時(shí)以MN為直徑的圓過點(diǎn)D(1,0)和E(7,0).
當(dāng)PQ⊥x軸時(shí),
P
(
1
,
3
2
)
,
Q
(
1
,-
3
2
)
,
M
(
4
,
3
)
,
N
(
4
,-
3
)
則以MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+y2=9,也過點(diǎn)D,E.
∴以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)D(1,0)和E(7,0).
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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