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已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)A(-2,0),B(2,0)連線的斜率之積為-
3
4

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;
(2)過點(diǎn)F(1,0)的直線與曲線E交于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ與直線x=4分別交于M,N兩點(diǎn).求證:以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn).

【考點(diǎn)】軌跡方程
【答案】(1)
x
2
4
+
y
2
3
=1( x≠±2);
證明:(2)當(dāng)PQ的斜率存在時(shí),設(shè)PQ的方程為y=k(x-1),
與曲線E的方程聯(lián)立,消去y得(3+4k2)x2-8k2x-4k2-12=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=
8
k
2
3
+
4
k
2
,
x
1
x
2
=
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2

直線AP的方程為
y
y
1
=
x
+
2
x
1
+
2
,
令x=4,得
y
=
6
y
1
x
1
+
2
,即
M
4
6
y
1
x
1
+
2
,同理
N
4
,
6
y
2
x
2
+
2

|
MN
|
=
6
y
2
x
2
+
2
-
6
y
1
x
1
+
2

=6|
k
[
x
2
-
1
x
1
+
2
-
x
1
-
1
x
2
+
2
]
x
1
x
2
+
2
x
1
+
x
2
+
4
|
=
18
|
k
x
2
-
x
1
x
1
x
2
+
2
x
1
+
x
2
+
4
|,
|x2-x1|=
x
1
+
x
2
2
-
4
x
1
x
2
=
64
k
2
3
+
4
k
2
2
-
4
×
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2

=
12
1
+
k
2
3
+
4
k
2
|
x
1
x
2
+
2
x
1
+
x
2
+
4
|
=
|
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
+
2
×
8
k
2
3
+
4
k
2
+
4
|
=
36
k
2
3
+
4
k
2

∴|MN|=
6
1
+
k
2
|
k
|

線段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
1
2
6
y
1
x
1
+
2
+
6
y
2
x
2
+
2
)=
3
k
?
x
1
-
1
x
1
+
2
+
x
2
-
1
x
2
+
2
)=-
3
k

故以MN為直徑的圓的方程為:(x-4)2+
y
+
3
k
2
=
9
1
+
k
2
k
2

令y=0得:(x-4)2=9,解得x=1或x=7.
此時(shí)以MN為直徑的圓過點(diǎn)D(1,0)和E(7,0).
當(dāng)PQ⊥x軸時(shí),
P
1
,
3
2
,
Q
1
,-
3
2
,
M
4
,
3
N
4
,-
3

則以MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+y2=9,也過點(diǎn)D,E.
∴以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)D(1,0)和E(7,0).
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布:2024/10/21 4:0:1組卷:128引用:2難度:0.4
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    =t(
    AB
    |
    AB
    |
    cos
    B
    +
    AC
    |
    AC
    |
    cos
    C
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    發(fā)布:2024/12/29 10:30:1組卷:42引用:3難度:0.5
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