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【閱讀理解】
排列:從n個(gè)元素中選取m(m≤n)個(gè)元素,這m個(gè)元素稱為一個(gè)排列,不同順序視作不同排列,排列數(shù)量記作
A
m
n

組合:從n個(gè)元素中選取m(m≤n)個(gè)元素,這m個(gè)元素稱為一個(gè)組合,不同順序視作同一組合,組合數(shù)量記作
C
m
n

例如:(甲、乙),(乙、甲)是兩種不同的排列,確實(shí)同一種組合.
【問(wèn)題提出1】在5個(gè)點(diǎn)中選取其中3個(gè),有多少種排列?有多少種組合?
【問(wèn)題解決1】
將5個(gè)點(diǎn)分別編號(hào)為“1”“2”“3”“4”“5”.
(一)排列:
(1)選取第1個(gè)點(diǎn):
如圖①,從全部5個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè),有5種情況;
(2)選取第2個(gè)點(diǎn):
如圖①,從剩余4個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè),有4種情況;
(3)選取第3個(gè)點(diǎn):
如圖①,從剩余3個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè),有3種情況;
綜上所述,從5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn),共有5×4×3=60種排列,即
A
3
5
=60.
(二)組合:
因?yàn)槊總€(gè)組合都包含了3個(gè)點(diǎn),所有每3個(gè)點(diǎn)共有
A
3
3
=3×2×1=6(種)排列.例如:包含“1”“2”“3”這3個(gè)點(diǎn)的組合,就有(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)共6種不同排列……像這樣,每個(gè)組合都重復(fù)了6次(即
A
3
3
次),即組合數(shù)=排列數(shù)的
1
A
3
3
,故“在5個(gè)點(diǎn)中選取其中3個(gè)”對(duì)應(yīng)組合數(shù)
C
3
5
=
A
3
5
A
3
3
=
5
×
4
×
3
3
×
2
×
1
=
10
(種).
填空:(1)
A
2
5
=
20
20
;
(2)
A
3
m
=
m(m-1)(m-2)
m(m-1)(m-2)
(n≥3);
(3)
C
2
n
=
n
n
-
1
2
n
n
-
1
2
(n≥2).
【問(wèn)題提出2】在五邊形中,每次取其中的3個(gè)頂點(diǎn)連接成三角形,可以構(gòu)造多少個(gè)三角形?
【問(wèn)題解決2】
解:?jiǎn)栴}可以抽象成在5個(gè)點(diǎn)中取其中3個(gè),有多少種組合.
C
3
5
=
A
3
5
A
3
3
=
5
×
4
×
3
3
×
2
×
1
=
10
(種),
∴在5個(gè)點(diǎn)中取其中3個(gè),有10種組合.
即在五邊形中,每次取其中的3個(gè)頂點(diǎn)連接成三角形,可以構(gòu)造10個(gè)三角形.
【問(wèn)題延伸】在六邊形中,每次取其中的4個(gè)頂點(diǎn)連接成四邊形,可以構(gòu)造多少個(gè)四邊形?
(請(qǐng)仿照【問(wèn)題解決2】利用排列、組合的計(jì)算方法解決問(wèn)題)
【建立模型】在n(n≥3)邊形中,每次取其中的m(m≤n)個(gè)頂點(diǎn)連接成m角形,可以構(gòu)造
n
n
-
1
……
n
-
m
+
1
m
m
-
1
m
-
2
……
2
×
1
n
n
-
1
……
n
-
m
+
1
m
m
-
1
m
-
2
……
2
×
1
個(gè)m邊形.
【模型應(yīng)用】在如圖②所示的正方形網(wǎng)格圖中,以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有
18
18
個(gè).

【答案】20;m(m-1)(m-2);
n
n
-
1
2
;
n
n
-
1
……
n
-
m
+
1
m
m
-
1
m
-
2
……
2
×
1
;18
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布:2024/6/27 10:35:59組卷:253引用:2難度:0.4
相似題
  • 1.下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成,其中,第①個(gè)圖形中一共有1個(gè)平行四邊形,第②個(gè)圖形中一共有5個(gè)平行四邊形,第③個(gè)圖形中一共有11個(gè)平行四邊形,…則第⑥個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)為( ?。?br />

    發(fā)布:2024/12/23 11:0:1組卷:549引用:44難度:0.9
  • 2.用棋子擺出下列一組三角形,三角形每邊有n枚棋子,每個(gè)三角形的棋子總數(shù)是S.按此規(guī)律推斷,當(dāng)三角形邊上有n枚棋子時(shí),該三角形的棋子總數(shù)S等于(  )

    發(fā)布:2024/12/16 5:30:2組卷:329引用:15難度:0.9
  • 3.把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案,其中第①個(gè)圖案中有3個(gè)黑色三角形,第②個(gè)圖案中有7個(gè)黑色三角形,第③個(gè)圖案中有11個(gè)黑色三角形,……,按此規(guī)律排列下去,則第⑧個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為(  )

    發(fā)布:2024/12/16 2:30:1組卷:91引用:3難度:0.6
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